format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

Deoarece √ y = √ y · 1 ≤ y +1 (2) şi √ 3y = 3√ y · 1 · 1 ≤ y +2 (3), rezultăcă2312y √ y + 13(y +1) 3√ y ≥ 1y (y +1) + 1(y +1)(y +2) = 2. Prin urmare, ecuaţiay (y +2)(1) are soluţie dacă şi numai dacă (2) şi (3) sunt simultan egalităţi, adică y =1. Decisoluţia ecuaţiei date este x ∈ [1, 2).IX.40. Fie M 6= G în planul 4ABC şi D, E, F mijloacele laturilor [BC],[CA] şi respectiv [AB]. Considerăm punctele X, Y, Z astfel încât XD −−→ = m −−→ XM,−→YE= mYM, −−→ −→ ZF = m −−→ ZM, m 6= 1.a) Dacă m 6= 3 ,atunciAX, BY, CZ sunt concurente în S, cu−→ SG = 2m −−→ SM.2 3b) Dacă m = 3 ,atunciAX, BY, CZ sunt paralele cu GM.2Virgil Nicula, BucureştiSoluţie. a) Avem:−→SG = 2m 3⇔ −−→ MS =−−→SM ⇔ −−→ SM + MG −−→ = 2m 33 −−→MG ⇔ MS −−→ =3 − 2m−−→ 2m − 3 −−→SM ⇔ SM = MG −−→ ⇔31³ −−→ −−→ −−→MA+ MB + MC´.3 − 2mFie punctul S 0 definit prin egalitatea −−→ MS 0 1³ −−→ −−→ −−→= MA+ MB + MC´. Se poate3 − 2mverifica, prin calcul, faptul că S 0 aparţine dreptelor AX, BY , CZ, deci acestea vorfi concurente în S 0 ≡ S şi atunci este adevărată şi egalitatea −→ SG = 2m −−→ SM. Să3demonstrăm, de exemplu, că S 0 ∈ AX. Pentru aceasta vom demonstra că vectorii−−→XS 0 şi −−→ S 0 A sunt coliniari:−−→XS 0 = −−→MS 0 − −−→ MX ==(2 − 2m)−−→MA− −−→−−→MA+ −−→ MB + −−→ −−→MC−3 − 2mMB − MC−−→,MB + −−→ MC2 − 2m =(3 − 2m)(2− 2m)−−→ S 0 A = −−→ MA− −−→ MS 0 = −−→ −−→ −−→ −−→MA+ MB + MCMA−=(2− 2m) XS −−→ 0 .3 − 2mb) Pentru m = 3 2 , avem:−−→XD = 3 −−→XM ⇔ −−→ XM + −−→ MD = 3 −−→XM ⇔ −−→ MX = −2 −−→ MD = −( −−→ MB + MC)−−→22şi atunci −−→ XA = −−→ MA − MX −−→ = −−→ MA + −−→ MB + MC −−→ = 3MG.−−→ Analog se obţine−→YB= −→ ZC =3MG,decidrepteleAX, −−→BY , CZ sunt paralele.Clasa a X-aX.36. Să serezolveinecuaţia a log2 b x + x log b x ≤ a + b, undea, b ∈ (1, ∞).Daniela Dodan, elevă, IaşiSoluţie. Din egalitatea x = b log b x , x>0, rezultăcă x log b x = b log2 b x , x>0.Deci, inecuaţia dată esteechivalentăcua log2 b x + b log2 b x ≤ a + b. (1)57