format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

an (an +2)L39. Determinaţitoatenumerelenaturalenenulen pentru care estep (p +1)pătrat perfect, unde a, p ∈ N ∗ .Mihai Haivas, IaşiSoluţie. Fie a2 n 2 +2an= y 2 , y ∈ N ∗ . Avem (an +1) 2 − p (p +1)y 2 =1,dep (p +1)unde, cu x = an +1,obţinem ecuaţia lui Pell: x 2 − p (p +1)y 2 =1,carearesoluţiafundamentală (x 0 ,y 0 )=(2p +1, 2) şi soluţia generalăx k = 1 p p·³x 0 + y 0 p (p +1)´k+³x 0 − y 0 p (p +1)´k¸=2= 1 ·³2p +1+2 p ´k ³p (p +1) + 2p +1− 2 p ´k¸p (p +1) =2= 1 ·³p √³p √ p +1+ p´2k+ p +1− p´2k¸,21y k =2 p p p·³x 0 + y 0 p (p +1)´k−³x 0 − y 0 p (p +1)´k¸=p (p +1)1·³p=2 p √³p √ p +1+ p´2k− p +1− p´2k¸.p (p +1)Prin urmare, avem:n k = 1 ·³p √³p √ p +1+ p´2k+ p +1− p´2k− 2¸2ah ¡√p √ ¢ 2k ¡√ √ ¢ i 2kcare este soluţie dacă 2a | +1+ p + p +1− p − 2 .Notă. Soluţie corectă s-a primit de la Marius Pachiţariu, elev,Iaşi.L40. Fie A, B ∈ M n (Z) astfel încât det ¡ A 2 B + AB 2¢ este impar. Să searatecă A + αB este inversabilă pentru orice α ∈ Q.Marian Ursărescu, RomanSoluţie. Deoarece det ¡ A 2 B + AB 2¢ =detA · det (A + B) · det B este un numărimpar, rezultă că det A, det (A + B) şi det B sunt numere impare. Fie polinomulp (X) =det(A + XB) =detA + a 1 X + ···+ a n−1 X n−1 +(detB) X n . Cump (1) = det (A + B) =detA + a 1 + ···+ a n−1 +detB este număr impar, înseamnăcă şi a 1 + a 2 + ···+ a n−1 este număr impar. Să presupunem acum că polinomulp are o rădăcină raţională α = p ,cup, q ∈ Z, q 6= 0, (p, q) =1.qavem p | det A şi q | det B, deci p şi q sunt impare.În acest caz,Din p (α) =0, rezultă că(det ¡ A) q n +a 1 pq n−1 +···+a n−1 p n−1 q +(detB) p n =0,sau(det A) q n +(detB) p n ++a 1 p n−1 q − 1 ¢ ¡+ ···+ a n−1 p n−1 q − 1 ¢ = − (a 1 + ···+ a n−1 ), egalitate care estefalsă deoarece membrul din stânga este par, iar cel din dreapta este impar. Prinurmare p (α) =det(A + αB) 6= 0, pentru orice număr raţional α, adică matriceaA + αB este inversabilă oricare ar fi α ∈ Q.L41. Demonstraţi că grupul simetric S 32 nuareelementedeordin2002.Paul Georgescu şi Gabriel Popa, IaşiSoluţie. Presupunem că există σ ∈ S 32 un element de ordin 2002. Fie σ == σ 1 σ 2 ···σ n descompunerea sa în produs de cicli disjuncţi cu ordinele k 1 , k 2 , ...,71