format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

Dacă facem notaţia log 2 b x = α ≥ 0 şi avem în vedere obsevaţiile α>1 ⇒ a α + b α >>a+ b, α ≤ 1 ⇒ a α + b α ≤ a + b, obţinem că inecuaţia (1) este echivalentă culog 2 b x ≤ 1, decix ∈ £ b −1 ,b ¤ .X.37. Fie a, b ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞) şi funcţia injectivă f :(0, ∞) → R astfel încâtfuncţia g : R → R, g (x) =f (a x )+f (b x ) este constantă. Să searatecă ab =1şică existăfuncţii f care satisfac ipotezele problemei.Dan Popescu, SuceavaSoluţie. Fie g (x) =f (a x )+f (b x )=k, ∀x ∈ R, unde k ∈ R. Atunci, avemk = f (x)+f ¡ b log x¢ a = f ¡ a log x¢ b + f (x), ∀x >0, de unde rezultă că f ¡ b log x¢ a == f ¡ a log x¢ b . Cum f este funcţie injectivă, deducem că b log a x = a log b x , x>0, decilog 2 a b =1,adică a = b sau ab =1. Dacă a = b, atunci f (a x )= g (x)2 , x ∈ R,sau f (x) = k 2 , x>0, ceea ce contrazice injectivitatea funcţiei f. Pentru b = 1 a şif (x) =log a x,seobţine g (x) =0, ∀x ∈ R.X.38. Fie a, b, c, d ∈ R cu a>b>c>d.Săsearatecă a, b, c, d sunt în progresieµ 3 a − daritmetică dacă şi numai dacă (a − b)(b − c)(c − d) = .3A. V. Mihai, BucureştiSoluţie. Dacă a, b, c, d sunt în progresie aritmetică deraţie r, atunci egalitateaµ 3 3rdată esteechivalentăcur · r · r = , care este, evident, adevărată.3Reciproc, dacă are loc egalitatea din enunţ, atunci a−d =3 3p (a − b)(b − c)(c − d),sau (a − b)+(b − c)+(c − d) =3 3p (a − b)(b − c)(c − d), adică media aritmetică anumerelor a − b, b − c şi c − d este egală cu media lor geometrică. De aici rezultă căa − b = b − c = c − d, decia, b, c, d sunt în progresie aritmetică.X.39. Fie ABCDA 0 B 0 C 0 D 0 un paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile AB = a,AD = b, AA 0 = c. Dacă M ∈ Int A 0 B 0 C 0 D 0 ,notăm cu α, β, γ măsurile unghiurilorpe care AM le face cu AB, AD şi respectiv AA 0 .SăsearatecăAM < a cos α + b cos β + c cos γ0, cos β > 0, cos γ > 0, Frezultă că AM < a cos α + b cos β + c cos γ. PentruA E Badouaparteainegalităţii vom folosi inegalitatea luiCauchy-Buniakovski-Schwarz şi identitatea cos 2 α +cos 2 β +cos 2 γ =1:a cos α + b cos β + c cos γ< p a 2 + b 2 + c 2p cos 2 α +cos 2 β +cos 2 γ = AC 0 .58