format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

(a + b + c) 3 − ¡ a 3 + b 3 + c 3¢ =3(a + b + c) − 3abc. (2)Observăm că din3=3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c) 2 rezultă că a + b + c ≥ √ 3,iardin 1=ab+bc+ca ≥ 3 3√ a 2 b 2 c 2 deducem că abc ≤ 13 √ . Revenind la (2) vom obţine3(a + b + c) 3 − ¡ a 3 + b 3 + c 3¢ ≥ 3 √ 3 − √ 1 = 8√ 33 3 .Soluţia II (Marius Pachiţariu, elev,Iaşi). Cum ab + ac + bc =1, avem:a 3 + b 3 + c 3 − 3abc =(a + b + c) ¡ a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc ¢ =hi=(a + b + c) (a + b + c) 2 − 3(ab + ac + bc) =(a + b + c) 3 − 3(a + b + c) .Astfel, inegalitatea de la punctul b) se va scrie 3(a + b + c) − 3abc ≥ 8√ 3sau3a + b + c − abc ≥ 8√ 39 . (2)Pentru a justifica inegalitatea (2), vom demonstra dubla inegalitate:ra + b + c ab + bc + ca≥≥ 3√ abc, ∀a, b, c > 0. (3)33Pentruprimapartearelaţiei (3), observăm căµ 2 a + b + c ab + bc + ca≥ ⇔ (a + b + c) 2 ≥ 3(ab + ac + bc) ⇔33⇔ (a − b) 2 +(b − c) 2 +(c − a) 2 ≥ 0,evident adevărată. Pentru partea a doua, folosim inegalitatea mediilor:r qrab + bc + ca³3√≥√ ´23ab · bc · ca = abc√ 3= abc.3Revenind la inegalitatea (2), avem:r Ãr ! 3ab + bc + ca ab + bc + caa + b + c − abc ≥ 3−= 8√ 3339 .Soluţia III (dată de autor). Din inegalitatea lui Carlson:r r3 (a + b)(b + c)(c + a) ab + bc + ca≥, ∀a, b, c > 083şi identitatea (1), rezultă că:(a + b + c) 3 − ¡ a 3 + b 3 + c 3¢ =3(a + b)(b + c)(c + a) ≥Ãr ! 3ab + bc + ca1≥ 3 · 8=3· 8 ·33 √ 3 = 8√ 33 .VIII.38. Fie n ∈ N fixat. Arătaţi că există o infinitate de numere x, y, z ∈ Zastfel încât x 2n + y 2n + z 2n = x 2n+1 + y 2n+1 + z 2n+1 .Lucian Tuţescu, Craiova54