format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

sunt sumele simetrice fundamentale ale numerelor 1, 2,...,n.Săsearatecăh p = n (n − 1) ···(n − p +1)X p (X +1) n−p , ∀p =1, 2,...Marian Tetiva, BârladpXSoluţie. Să arătăm că h p+1 = Xh 0 p − ph p .Avemh p+1 = (−1) k σ p k f p+1−k ==pX(−1) k³ σ p−1k=0p−1X= Xk=0k(−1) k σ p−1k´+ pσ p−1k−1k=0k=0p−1XpXf p+1−k = (−1) k σ p−1kf p+1−k + (−1) k pσ p−1k−1 f p+1−k =f 0 p−k − p pXk=1k=1(−1) k−1 σ p−1k−1 f p+1−k = Xh 0 p − ph p (am consideratσ n 0 =1şi σ n k=0,pentrukn).Demonstraţiasepoatefaceprininducţie şi se bazează pe formula stabilită. Directdin enunţ, deducem că h 1 = f 1 = Xf0 0 = nX (X +1) n−1 . Să presupunem acum căare loc egalitatea h p = n (n − 1) ···(n − p +1)X p (X +1) n−p . În acest caz, putemscrie:h p+1 = Xh 0 p − ph p = n (n − 1) ···(n − p +1)pX p (X +1) n−p ++n (n − 1) ···(n − p +1)(n − p) X p+1 (X +1) n−p+1 −−pn (n − 1) ···(n − p +1)X p (X +1) n−p == n (n − 1) ···(n − p +1)(n − p) X p+1 (X +1) n−p+1 .Să mai observăm că, deoarece h n = n! X n , h n+1 = Xn! nX n−1 −nn! X n =0,rezultăcă h p =0, pentru orice p ≥ n +1.L45. Fie f :[0, ∞) → [0, ∞) continuă. Dacă funcţia F :[0, ∞) → R, F (x) =Z xZ 1= f (t) dt este mărginită, să searatecă lim n xf (nx) dx =0.0n→∞0Z 1Adrian Zanoschi, IaşiSoluţie. Dacă înintegralaI n = nxf (nx) dx facem schimbarea de variabilăZ 0ntnx = t, obţinem I n = f (t) dt. Fieε ∈ (0, 1). AvemZ 0 n nεZnεnZ|I n | ≤0 n f (t) dt + nnε Z nnε n f (t) dt = ε f (t) dt + f (t) dt. (1)0nεDeoarece F este mărginită, există M>0 astfel încât F (x)