format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

VII.47. Să serezolveînZ 2 ecuaţia u 2 v + uv 2 =2u 2 +2v 2 − 40.Mihai Crăciun, PaşcaniVII.48. Dacă a i = i + √ i, ∀i = 1, 2004, precizaţi dacă numărulN = a 1 − a 2 − a 3 + a 4 + a 5 − a 6 − a 7 + a 8 + ···+ a 2001 − a 2002 − a 2003 + a 2004este negativ, pozitiv sau nul.Viorel Cornea şi Dan Ştefan Marinescu, HunedoaraVII.49. Fie 4ABC echilateral şi D ∈ (BC). Notăm cu M 1 , M 2 mijloacelesegmentelor [BD], respectiv [CD]. Paralela prin M 1 la AC intersectează AB în F ,iar paralela prin M 2 la AB intersectează AC în E. SăsearatecădrepteleAD, M 1 Eşi M 2 F sunt concurente.Nicolae Gross şi Lucian Tuţescu, CraiovaVII. 50. Fie ABCD un trapez cu bazele [AB] şi [CD]. O paralelălabazeintersectează AD, AC, BD şi BC în punctele E, F , G şi respectiv H. Săsearatecă EH =3FG dacă şi numai dacă DF, CG şi AB sunt drepte concurente.Adrian Zanoschi, IaşiClasa a VIII-aVIII.46. Să se demonstreze că nuexistă m, n ∈ N ∗ pentru care m n + n m = 2003.Alexandru Negrescu, elev, BotoşaniVIII.47. Pentru ∀x ∈ (0, ∞), să se demonstreze inegalitatea¡x 5 +x 3 +x 2 +1 ¢¡ x 3 +x 2 +2 ¢ + ¡ x 4 +x 3 +x+1 ¢¡ x 3 +x+2 ¢ + ¡ x 3 +x 2 +x+1 ¢¡ x 2 +x+2 ¢x 6 + x 5 + x 4 +2x 3 + x 2 ≥6.+ x +1Mircea Coşbuc, elev, IaşiVIII.48. Găsiţi numerele prime p şi q pentru care p 2 + q =37q 2 + p.Liviu Smarandache, CraiovaVIII.49. Fie 4ABC dreptunghic în A cu AB = AC = a. Considerăm MA ⊥⊥ (ABC), MA = a √ 2 şi N ∈ AM astfel încât m( CN,BM) \ =60 ◦ . Săseaflelungimea segmentului [AN].Romanţa Ghiţă şi Ioan Ghiţă, BlajVIII.50. Fie patrulaterul convex ABCD cu AB = BC, m( A)=m( b C)=90 b ◦ ,m( B) b ≤ 90 ◦ şi fie O mijlocul lui [BD]. Pe perpendiculara în O pe planul (ABC) seia un punct V astfel încât OV = OB. Săsearatecă d (D, (VAB)) = 2 d (D, (VAC))dacă şi numai dacă m(\ABC) =60 ◦ .Monica Nedelcu, IaşiClasa a IX-aIX.46. Să serezolveecuaţia √ x − 1+ √ 3 − x − 2n√ x − 2=2, unde n ∈ N ∗ .Dan Popescu, SuceavaIX.47. Să se determine şirul (a n ) n≥1de numere strict pozitive pentru carea 2 1 − a 2 2 + a 2 3 − ···+(−1) n−1 a 2 n =(−1) n−1 (a 1 + a 2 + ···+ a n ) , ∀n ≥ 1.Marian Ursărescu, Roman76