format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

Ca urmare, în condiţia impusă triunghiului, are loc şi inegalitateaa 2 + b 2 + c 2 ≥ abc √ 3. De altfel, aceasta din urmă rezultă direct din cunoscutainegalitate a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4S √ 3 (Weitzenböck, 1919) pentru R =1.Oîntărire a acestor inegalităţi este dată deProblema 3. În orice triunghi este satisfăcută inegalitateaab + bc + ca ≥ a √ bc + b √ ca + c √ ab ≥ 4S √ 3. În particular, dacă R =1, avemab + bc + ca ≥ a √ bc + b √ ca + c √ ab ≥ abc √ 3.Soluţie. Prima parte a dublei inegalităţi se dovedeşte astfel: X ab ≥ X a √ bc ⇔1a + 1 b + 1 c ≥ √ 1 + √ 1 + √ 1 ⇔ A 2 + B 2 + C 2 ≥ AB + BC + CA (s-a notatab bc caA = √ 1 , B = √ 1 şi C = √ 1 ), care este adevărată.a b cDemonstrăm acum partea a doua, adică X a √ bc ≥ 4S √ 3 sau X √1 3√ ≥bc R .Cu inegalitatea Cauchy-Schwarz sau utilizând inegalitatea (2) de mai sus, obţinemX 1√bc≥9X √bc≥9p3(ab + bc + ca).Estesuficient ca9p3(ab + bc + ca)≥sau, echivalent, ab + bc + ca ≤ 9R 2 . Aceasta decurge din ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2şi faptul cunoscut că într-un triunghi are loc a 2 + b 2 + c 2 ≤ 9R 2 .Problema 4. Să searatecă în orice triunghi înscris într-un cerc de rază egalăcu 1 are loc inegalitatea a bc + bca + c ab + √ µ 13 ≤ 2a + 1 b + 1 . Cezar LupucSoluţie. Este binecunoscută inegalitatea a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4S √ 3+(a − b) 2 ++(b − c) 2 +(c − a) 2 (Finsler şi Hadwiger, 1938). Este echivalentăcu2(ab + bc + ca) −− ¡ a 2 + b 2 + c 2¢ ≥ 4S √ 3 şi ţinând seama că R =1, conduce la inegalitatea cerută.Problema 5. În orice triunghi înscris într-un cerc de rază 1 are loc următoareaainegalitate:bc (b + c) + bca (c + a) + cab (a + b) ≥ 3. Cezar Lupu2(a + b + c)Soluţie. Utilizând rezultatul din Problema 3 şi inegalitatea Cauchy-Schwarz,3a 2 b 2 c 2putem scrie:2(a + b + c) ≤ (a√ bc + b √ ca + c √ ab) 2≤ X (a √ bc) 22(a + b + c)b + c,deunde,prinîmpărţire cu a 2 b 2 c 2 ,obţinem inegalitatea dorită.3. Propunem spre rezolvare următoarele probleme:1. Se consideră a, b, c trei numere reale strict pozitive astfel încât a + b + c ≥ abc.a 2Arătaţi căbc (b + c) + b 2ca (c + a) + c 2ab (a + b) ≥ 3√ 3. Cezar Lupu, G.M.22. Fie ABC un triunghi √ oarecare înscris într-un cerc de rază egală cu1.Arătaţi3că PA+ PB + PC ≥ AB · BC · CA, ∀P ∈ Int (ABC). Cezar Lupu3Bibliografie1. M. Bălună şi M. Becheanu (prezentare de) - A 18-a OBM, 3-9 mai 2001, Belgrad,GM - 5-6/2001, 229-236.2. Cezar Lupu - Asupra unei probleme de concurs, Rev. Mate(matică), 2003, 17-20.28√3R