format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

k n .Avemk 1 + k 2 + ···+ k n =32şi [k 1 ,k 2 ,...,k n ] = 2002. Cum2002 = 2 · 7 · 11 · 13,rezultă căexistă k i1 , k i2 , k i3 , k i4 ,nuneapărat distincte, astfel încât 2 | k i1 , 7 | k i2 ,11 | k i3 , 13 | k i4 .Dacă k i1 , k i2 , k i3 , k i4 sunt distincte, atunci k i1 +k i2 +k i3 +k i4 ≥ 33,ceea ce este fals. Dacă două, sau mai multe, din cele patru ordine coincid, atunciordinul corespunzător se divide cu produsul factorilor ce-i corespund, fiind mai maresau egal decât produsul aceloraşi factori şi deci mai mare sau egal decât suma lor.Astfel, în acest caz obţinem iarăşi că suma ordinelor este mai mare sau egală cu33,ceea ce este fals.L42. Fie (A, +, ·) un inel comutativ şi finit, cu cel puţin 5 elemente şi cu1+1 ∈ A inversabil. Fie M = © x ∈ A | x 2 =1 ª , I = © x ∈ A | x 2 = x ª . Săsearate că card M =cardI 2cardI. În continuare ne ocupăm de cazul în care card I > 2. Înaceastă situaţie, fie a ∈ I \{0, 1} şi atunci 1 − a ∈ I \{0, 1,a}. Într-adevăr, dacă1−a = a, rezultăcă a =2 −1 ,adică a este inversabil şi din a 2 = a obţinem a =1, ceeace este fals. Avem deci card I>3. FieJ = {x ∈ A | −x ∈ I} şi atunci I ∩ J = {0},pentru că x ∈ I ∩ J înseamnă x = −x = x 2 , deci 2x =0,adică x =0. Pedealtăparte, avem I ∩ M = {1} şi J ∩ M = {−1}. Cum I, J, M au acelaşi număr deelemente, rezultă căareloccard A ≥ 3cardI − 3 > 2cardI.L43. Determinaţi polinoamele P ∈ R [X] pentru care P (z) ∈ C\R, ∀z ∈ C\R.Gheorghe Iurea, IaşiSoluţie. Polinoameledegradul1, P (X) =aX + b (a, b ∈ R, a 6= 0) verificăipoteza, deci sunt soluţii ale problemei. Arătăm că acestea sunt singurele soluţii.Fie P ∈ R [X] cu grad P = n ≥ 2 şi f : R → R, f (x) =P (x) =a 0 x n + a 1 x n−1 ++ ···+ a n (a 0 6=0)funcţia polinomială asociată acestuia. Fie a 0 > 0 (la fel se vaproceda dacă a 0 < 0). Observăm că ∀m ∈ R ecuaţia f (x) =m are numai soluţiireale (n soluţii), în caz contrar ar exista z ∈ C\R şi f (z) =m ∈ R.Dacă n este par, atunci lim f (x) =∞. Deaicişi din continuitatea lui f, rezultăx→±∞că Im f =[m, ∞), unde m =inf{f (x);x ∈ R}. Pentruk 0 pentru |x| suficient de mare. Deci f este strict crescătoare pe intervalele(−∞,α) şi (β,∞) (α, β ∈ R convenabil aleşi). De aici, din continuitatea funcţieif (deci mărginirea ei pe orice interval [α, β]) şi din faptul că f (x) =+∞,limx→+∞deducem că ∃β ∈ R astfel încât f (β) ≥ f (x), ∀x ∈ (−∞,β]. Ca urmare ecuaţiilef (x) =k, cuk>f(β) au soluţie reală unică, fals.L44. Fie n ≥ 2 număr natural, iar f 0 ,f 1 ,f 2 ,... un şir de polinoame definitprin f 0 =(X +1) n , f p+1 = X · fp, 0 ∀p ≥ 0. Definim încă h p = f p − σ p−11 f p−1 ++ ···+(−1) p−1 σ p−1p−1 f 1, ∀p ≥ 1, undeσ n k =Xi 1 i 2 ...i k , k ∈ {1, 2,...,n}721≤i 1