format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

X.40. a) Pentru x, y, z ≥ 0, demonstraţi inegalitatea¡√ √ √ ¢ √ px + y + x + z + y + z · xy + xz + yz ≥ 3 6xyz.b) Cu notaţiile uzuale, în orice triunghi are loc inegalitatea³ √a √ √ √ ³Rr − 2 ≥ 9 2 √b √ − b´2+( a − c) + − c´24 ·³ √a √ .√ + b + c´2Marian Tetiva, BârladSoluţie. a) Din relaţiile√ √ √ p x + y + x + z + y + z ≥ 36(x + y)(x + z)(y + z) ≥ 3 6p 8xyz =3 √ 2 6√ xyz şiq√ xy + xz + yz ≥ 3 3p x 2 y 2 z 2 = √ 3 6p x 2 y 2 z 2rezultă că¡√ √ √ ¢ √ √ √ px + y + x + z + y + z xy + xz + yz ≥ 3 6 xyz =3 6xyz.b) Vom aplica inegalitatea de la punctul a) pentru x = p−a, y = p−b şi z = p−c.Cu notaţiile făcute, avem:x + y = c, x + z = b, y + z = a,xy + xz + yz = X (p − a)(p − b) = X ¡p 2 − (a + b) p + ab ¢ ==3p 2 − 4p 2 + X ab = −p 2 + ¡ p 2 + r 2 +4Rr ¢ = r 2 +4Rr,xyz =(p − a)(p − b)(p − c) = S2p = pr2 .³ √a √ √ √r2Astfel, inegalitatea de la a) devine + b + c´+4Rr ≥ 3 p 6pr 2 sau³ √a √ √ ¡r+ b + c´2 2 +4Rr ¢ ≥ 54pr 2 ,deci1+4 R 27 (a + b + c)≥ ³r √a √ . De aici√ + b + c´2obţinem că³ √a √ √Rr − 2 ≥ 27 (a + b + c)³ √a √ − 9 √ 4 = 9 3(a + b + c) − + b + c´2³4 √a √ =√4 + b + c´2+ b + c´2³ √a √ √ √ ³2 √b √ − b´2+( a − c) + − c´2= 9 4³ √a +√b +√ c´2 .Clasa a XI-aXI.36. Fie D, M două matrice nesingulare de ordin n, D diagonală, iar Mtriunghiulară. Dacă D = t MDM,săsearatecă M este tot o matrice diagonală,având ±1 pe diagonala principală.Adrian Corduneanu, IaşiSoluţie.59