format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

astfel încât m( \BMC) = 150 ◦ . Notăm cu P , Q, R proiecţiile lui M pe BC, CA şirespectiv AB. Săsearatecă 4PQR este dreptunghic.Constantin Cocea, IaşiSoluţie. Deoarece patrulaterele MPBR şi MPCQ Asunt inscriptibile, avem: \MPR = \RBM =90 ◦ − \RMB60°şi \MPQ = \QCM =90 ◦ − \QMC. Astfel,obţinem:\RPQ = \MPR+ \MPQ = 180 ◦ − ( \RMB + \QMC )=RQ= 180 ◦ − (360 ◦ − \RMQ − \BMC )=M= 180 ◦ − (360 ◦ − 120 ◦ − 150 ◦ ) = 180 ◦ − 90 ◦ =90 ◦ .B P CClasa a VIII-aVIII.36. Determinaţi cardinalul minim al unei mulţimi B pentru care putemdefini funcţii f : R → B astfel încât f (−1) < 0 şi f (xy) =f (x) · f (y), ∀x, y ∈ R.Iulia Zanoschi, elevă, IaşiSoluţie. Vom demonstra cămulţimea B trebuie să aibă cel puţin trei elementeşi că existăofuncţie care are codomeniul B format din trei elemente şi îndeplineşterestul condiţiilor din enunţ.Avem f (1) = f ((−1) (−1)) = f (−1) f (−1) > 0. Pe de altăparte,dinf (0) =f (0 · (−1)) = f (0) f (−1), rezultă că f (0) [f (−1) − 1] = 0, decif (0) = 0. Prinurmare, f (−1), f (0) şi f (1) sunt trei numere distincte, ceea ce înseamnă că B arecel puţin⎧trei elemente. În fine, se observă că f : R → {−1, 0, 1}, definită prin⎨−1, x < 0f (x) = 0, x =0 , verifică toate condiţiile cerute.⎩1, x > 0VIII.37. If a, b, c ∈ (0, ∞) prove the following inequalities:a) (a + b + c) 3 − ¡ a 3 + b 3 + c 3¢ ≥ 24 where abc =1;b) (a + b + c) 3 − ¡ a 3 + b 3 + c 3¢ ≥ 8√ 3where ab + bc + ac =1.3Zdravko Starc, Vr˘sac, Serbia and MontenegroSoluţie. a) Se ştie că, oricare ar fi numerele a, b, c, are loc egalitatea:(a + b + c) 3 − ¡ a 3 + b 3 + c 3¢ =3(a + b)(b + c)(c + a) . (1)Avândînvedereidentitatea(1) şi inegalitatea mediilor, putem scrie:(a + b + c) 3 − ¡ a 3 + b 3 + c 3¢ =3(a + b)(b + c)(c + a) ≥≥ 3 · 2 √ ab · 2 √ bc · 2 √ ca =24abc =24.b) Soluţia I (Irina Mustaţă, elevă, Iaşi). Prin înmulţirea ultimelor două parantezedin partea dreaptă arelaţiei (1) şi ţinând cont că ab + bc + ca =1,obţinem(a + b + c) 3 − ¡ a 3 + b 3 + c 3¢ = 3(a + b) ¡ c 2 +1 ¢ ; similar, avem şi (a + b + c) 3 −¡a 3 + b 3 + c 3¢ =3(b + c) ¡ a 2 +1 ¢ şi (a + b + c) 3 − ¡ a 3 + b 3 + c 3¢ =3(c + a) ¡ b 2 +1 ¢ .Prin adunarea acestora avem(a + b + c) 3 − ¡ a 3 + b 3 + c 3¢ =(a + b) ¡ c 2 +1 ¢ +(b + c) ¡ a 2 +1 ¢ +(c + a) ¡ b 2 +1 ¢ ==2(a + b + c)+ab (a + b)+bc (b + c)+ca (c + a) ==2(a + b + c)+(a + b + c)(ab + bc + ca) − 3abc, adică53