format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

Asupra unei probleme propuse la O. I. M. - 1982Neculai ROMAN 1La O. I. M. în anul 1982 a fost propusă problemaB3—GB:Fie ABC un triunghi şi P un punct în interiorul lui astfel ca ∠PAC ≡ ∠PBC.Fie L, M picioarele perpendicularelor din P pe BC, CA respectiv. Fie D mijlocullui [AB]. Să se demonstreze că DL = DM.Enunţul şi o soluţieaacesteiproblemesepoategăsi în [1], pag. 322 şi 333. Problemaare şi o soluţie mai simplă, accesibilă şi elevului de gimnaziu şi care merităaficunoscută. De asemenea, vom arăta că problema are loc pentru o mulţime maivariată de puncte din planul triunghiului. În acest scop, vom demonstra următoareaTeoremă. Fie ABC un triunghi, D mijlocul lui [AB] şi punctele A 0 ,B 0pedreptele AC, respectiv BC astfel ca C ∈ (AA 0 ) şi C ∈ (BB 0 ). Fie P un punctîn planul triunghiului şi L, M picioarele perpendicularelor din P pe BC, respectivAC. Să se demonstreze că dacă P ∈ Int (∠ACB) ∪ Int (∠A 0 CB 0 ) astfel ca∠PAC ≡ ∠PBC sau dacă P ∈ Int (∠BCA 0 ) ∪ Int (∠ACB 0 ) astfel ca m (∠PAC)++m (∠PBC) = 180 ◦ atunci DM = DL.Demonstraţie. Fie punctele D 0 şi D 00 mijloacele segmentelor [PA], respectiv[PB] (fig. 1, 2 şi 3).AAAD′DDDD′D′MMD ′PC L B′ L B C B′B L C BD ′PD ′′A′MA′ PFig. 1Fig. 2Fig. 3Avem MD 0 = PA = DD 00 , ([MD 0 ] mediana corespunzătoare ipotenuzei în24AMP şi [DD 00 ] linie mijlocie în 4AP B).Deci[MD 0 ] ≡ [DD 00 ] . (1)Analog,[LD 00 ] ≡ [DD 0 ] . (2)Din PD 0 DD 00 paralelogram, rezultă că∠PD 0 D ≡ ∠PD 00 D (3)1 Profesor, Şcoala "V. Alecsandri", Mirceşti, Iaşi22