format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

A. Nivel licealL56. Fie ABCD patrulater convex şi {P } = AB ∩ CD, {Q} = AD ∩ BC.Considerăm J ∈ (AQ), L ∈ (BQ), K ∈ (DP), N ∈ (AP ) astfel încât QJ = AD,QL = CB, PK = DC şi PN = AB. Săsearatecă JL k NK.Carmen Nejneru, IaşiL57. Fie 4ABC înscris în cercul C şi punctele D ∈ (CB, D 0 ∈ (BC astfel încât\CAD ≡ \ABC, \BAD 0 ≡ \ACB. Semaiconsideră cercul C 1 tangent la AD, BD şi laC, cercul C 2 tangent la AD 0 , CD 0 şi la C, iar{E} = C 1 ∩ [BD], {F } = C 2 ∩ [D 0 C]. Săse arate că cercul circumscris 4AEF şi cercul înscris în 4ABC sunt concentrice.Neculai Roman, Mirceşti (Iaşi)L58. Pe muchiile (Ox, (Oy şi (Oz ale unui triedru oarecare se consideră puncteleA, L ∈ (Ox, B,M ∈ (Oy şi C, N ∈ (Oz astfel încât OA = OB = OC = a şi OL == OM = ON = b (a 2) două poligoane înscrise în acelaşicerc de centru O şi având centrele de greutate tot în O. Săsearatecăputemrenumerotavârfurile poligonului A 1 A 2 ...A n pentru a obţine un nou poligon A i1 A i2 ...A inîn care A ij 6= B j pentru j ∈ {1, 2,...,n}.Gabriel Dospinescu, student, BucureştiL61. Fie n ≥ 3. Să se determine maximul expresiei E = x 3 1 x2 2 + x3 2 x2 3 + ···++x 3 nx 2 1+(n−1) 2(n−1) x 3 1x 3 2 ···x 3 n, când numerele nenegative x 1 , x 2 ,...,x n au suma 1.Gabriel Dospinescu, student, BucureştiL62. Rezolvaţi ecuaţia 2x 2 = y (y +1); x, y ∈ N.Mircea Bîrsan, IaşiL63. Fie G ⊂ M n (R) un grup netrivial în raport cu produsul uzual al matricelor.Presupunem că există X ∈ G astfel încât pe fiecare linie, respectiv coloană asasăexiste cel mult un element nenul şi acesta egal cu 1. Să se demonstreze că existăk ∈ {1, 2,...n} astfel încât G este izomorf cu un subgrup al lui GL k (R) (s-a notatGL n (R) ={A ∈ M n (R) | det A 6= 0}).Ovidiu Munteanu, BraşovL64. Fie şirul (x n ) n≥1definit prin: x 1 ,x 2 ∈ N ∗ , x n+2 = [x n+1,x n ], n ≥ 1. Dacăx n+1x 2003 = 2004, demonstraţi că şirul nu este convergent.Iuliana Georgescu şi Paul Georgescu, IaşiL65. Fie n ∈ N şi funcţiile f,g : R → R, unde f (x) =x 2n cos (1/x), ∀x 0, iarg (x) =x 2n+1 sin (1/x), ∀x 0. Să se afle cel mai înalt ordin de derivabiliate alacestor funcţii şi să se studieze problema continuităţii acestor derivate în origine.Gheorghe Costovici, Iaşi80