format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

Soluţie. Ecuaţia dată esteechivalentăcu:x + 1 x +5=y2 + 2 y . (1)Cum x0, putem scrie:y 2 + 2 y = y2 + 1 y + 1 ry ≥ 3 3 y 2 · 1y · 1y =3,cu egalitate numai pentru y =1. Aşadar, egalitatea (1) este posibilă dacă şi numaidacă x + 1 x +5=3=y2 + 2 ,adicăpentrux = −1 şi y =1.yIX.37. Pentru x ∈ [1, ∞), n ∈ N ∗ ,demonstraţi inegalitatea¡x n+1 +1 ¢ (x n − 1) ≥ 2nx n (x − 1) .Marius Pachiţariu, elev, IaşiSoluţia I. Inegalitatea dată se transformă succesiv astfel:x 2n+1 − x n+1 + x n − 1 ≥ 2nx n+1 − 2nx n ⇔⇔ x 2n+1 − 1 ≥ (2n +1) ¡ x n+1 − x n¢ (1)Inegalitatea (1) este adevărată pentrux =1,iarpentrux>1 este echivalentă cux 2n+1 − 1≥ (2n +1)x n sau 1+x + x2 + ···+ x 2n≥ x n , care rezultă din inegali-x − 1tatea mediilor în felul următor:1+x + x 2 + ···+ x 2n2n +1≥ 2n+1√ 1 · x · x2n +12 ···x 2n = x (2n+1)2n2(2n+1)= x n .Soluţia II (Irina Mustaţă, elevă, Iaşi). Prin inducţie completă.IX.38. Să searatecă xn+1y n+ yn+1z n+ zn+1≥ x + y + z, ∀x, y, z > 0, ∀n ∈ N.xn Gigel Buth, Satu MareSoluţie. În GM - 4/2002, p. 146, L. Panaitopol enunţă şi demonstreazărezultatulurmător:Dacă p ≥ 1 şi a i ≥ 0, b i > 0 pentru i ∈ 1,n,atuncinXi=1a p ib p−1 ≥i³X ni=1 a i´p³X ni=1 b i´p−1.Inegalitatea din enunţ rezultă imediat din aceasta.112IX.39. Să se rezolve ecuaţia + q=2q[x] 3 3 3 [x] · [x +1] 3 [x] · [x +2] .Daniel Jinga, PiteştiSoluţie. Ecuaţia are sens dacă [x] > 0, adică [x] ≥ 1. Dacăfacemnotaţia[x] =y ∈ N ∗ ,ecuaţia dată devine:12y √ y + 13(y +1) 3√ y = 2y (y +2) . (1)56