format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

Soluţie. Dacă luăm z = −y, atunci din relaţia dată, obţinem:2y 2n = x 2n (x − 1) . (1)Osoluţie a acestei din urmă ecuaţii putem găsi alegând x − 1=2a 2n , a ∈ Z ∗ .Într-adevăr, în acest caz egalitatea (1) devine 2y 2n = ¡ 2a 2n +1 ¢ 2n· 2a 2n , de undegăsim y = ±a ¡ 2a 2n +1 ¢ . Deci, există o infinitate de numere cu proprietatea dată:x =1+2a 2n , y = a ¡ 2a 2n +1 ¢ , z = −a ¡ 2a 2n +1 ¢ , a ∈ Z ∗ .VIII.39. Fie ABCD un patrulater strâmb cu [AD] ≡ [BC]. Să se construiascădreptele paralele d 1 ,d 2 ,d 3 ,d 4 astfel încât A ∈ d 1 , B ∈ d 2 , C ∈ d 3 , D ∈ d 4 şidist (d 1 ,d 4 )=dist(d 2 ,d 3 ).Horia Mihail Teodorescu, elev, IaşiSoluţie. Fie d odreaptă care face unghiuri egale cu AD şi BC (evident, putemgăsi o astfel de dreaptă). Dreptele d 1 , d 2 , d 3 şi d 4 ,duseprinA, B, C, respectivD şi paralele cu d, satisfac condiţiile problemei. Într-adevăr, dacă notăm cu E şi Fpicioarele perpendicularelor din A şi B pe d 4 ,respectivd 3 avem că 4AED ≡ 4BFC(I. U.), deci AE = BF, adică dist (d 1 ,d 4 )=dist(d 2 ,d 3 ).VIII.40. Fie ABCDA 0 B 0 C 0 D 0 un cub, iar O ∈ (BB 0 ). Dreptele A 0 O şi C 0 Ointersectează (ABC) în E, respectivF ,iarAO şi CO intersectează (A 0 B 0 C 0 ) înE 0 ,respectivF 0 .a) Arătaţi că EF · E 0 F 0 nu depinde de poziţia lui O;b) Arătaţi că S BB 0 E 0 E ≥ S ABCD şi determinaţi O pentru care se atinge egalitatea.Monica Nedelcu, IaşiSoluţie. a) Cum (A 0 B 0 C 0 ) kE´(ABC) şi (EOF) ∩ (A 0 B 0 C 0 )=A 0 C 0 ,C´ B´(EOF) ∩ (ABC) = EF, rezultă căF´EF k A 0 C 0 , deci 4A 0 OC 0 ∼ 4EOF,Ede unde deducem căD´ A´EFOA 0 C 0 = EOOA 0 = BOB 0 O . (1)Analog, putem demonstra că 4AOC ∼4E 0 OF 0 ,deciC BFE 0 F 0AC= E0 OOA = B0 OOB . (2)D ADin (1) şi (2), obţinem EF · E0 F 0AC · A 0 C 0 =1, deci EF · E 0 F 0 = AC 2 =const.b) Fie B 0 O = x. Atunci, avem B0 E 0= x BE şi = a − xa a − x aS BB0 E 0 E = BB0 · (B 0 E 0 µ+ BE)= a2 x22 a − x + a − xxEgalitatea are loc dacă şi numai dacă. De aici rezultă căx≥ a22 · 2=a2 = S ABCD .xa − x =1,adică x = a , ceea ce înseamnă că2O este mijlocul segmentului [BB 0 ].Clasa a IX-aIX.36. Determinaţi x