format .pdf, 0.9 MB - RecreaÅ£ii Matematice

More documents

Recommendations

Info

T ij (a). Fie A =(a kl ) 1≤k,l≤nomatricedinM n (K), care mai poate fi scrisă şinXA = a kl E kl .Atuncik,l=1µX n T ij (a) A =(I n + aE ij ) a kl E kl ==nXa kl E kl +k,l=1k,l=1nXaa jl E il .l=1nXa kl E kl +k,l=1nXaa kl E ij E kl =k,l=1Ce înseamnă asta? Înseamnă că elementele matricei T ij (a) A rămân aceleaşi caale matricei A, cu excepţia celor de pe linia i: aici, în locul elementului a il apareacum a il + aa jl ,adicămatriceaT ij (a) A se obţine din A prin adunarea la linia ia liniei j înmulţite cu a, cu alte cuvinte înmulţirealastângacuomatriceT ij (a)realizează o transformare elementară amatriceiA. De asemenea, se poate verifica înacelaşi fel că matriceaAT ij (a) se obţine din A prin adunare la coloana j a coloaneii înmulţite cu a.2) Matricele Q ij = T ij (−1) T ji (1) T ij (−1) (i, j ∈ {1, 2,...,n} ,i6= j) intră şi eleîn categoria matricelor elementare. AvemQ ij = T ij (−1) T ji (1) T ij (−1) = (I n − E ij )(I n + E ji )(I n − E ij )==(I n + E ji − E ij − E ii )(I n − E ij )=I n + E ji − E ij − E ii − E ij − E jj + E ij == I n − E ii − E jj − E ij + E ji ,deci Q ij este matricea care se obţine din matricea unitate prin schimbarea a patruelemente: elementele de pe diagonala principală, de pe linia i, coloana i şi de pe liniaj, coloana j se înlocuiesc cu zerouri; în locul elementului de pe linia i şi coloana javem −1, iar în locul celui de pe linia j şi coloana i se găseşte 1. La fel ca mai sus,să calculămµX n Q ij A =(I n − E ii − E jj − E ij + E ji ) a kl E kl ==nXa kl E kl −k,l=1=nXa kl E ii E kl −k,l=1nXa kl E kl −k,l=1nXa kl E jj E kl −k,l=1nXa il E il −l=1nXa jl E jl −l=1k,l=1nXa kl E ij E kl +k,l=1nXa jl E il +l=1nXa kl E ji E kl =k,l=1nXa il E il ;aşadar, matricea Q ij A se obţine din A prin înlocuirea liniei i, respectiv j, cu linia jînmulţită cu−1, respectiv cu linia i. Asemănător, se poate observa că schimbările pecare le produc asupra lui A înmulţirea cu matricea Q ij la dreapta sunt următoarele:coloana i se înlocuieşte cu coloana j, iar coloana j se înlocuieşte cu coloana i înmulţităcu −1. Sămaispunemcă, fiind produs de matrice inversabile, Q ij este, de asemenea,matrice inversabilă; avemQ −1ij = T ij (−1) −1 T ji (1) −1 T ij (−1) −1 = T ij (1) T ji (−1) T ij (1)şi, deci, Q −1ij = Q ij .12l=1
3) Un alt tip de matrice elementare sunt matricele D i (d) =I n +(d − 1) E ii ,1 ≤ i ≤ n, d ∈ K fiind nenul; o astfel de matrice se obţine din matricea unitatemodificându-i un singur element: în locul lui 1 de pe linia i şi coloana i punem d. Nuegreudevăzut că înmulţirea unei matrice A oarecare cu D i (d) la stânga (respectivla dreapta) îi modifică doar linia (respectiv coloana) i, anume o înlocuieştepeaceastacu linia (respectiv coloana) i înmulţită cud. De asemenea, D i (d) este inversabilă şiare inversa D i (d) −1 ¡= D ¢ i d−1.4) Vom folosi matricele P ij pe care le definim prinP ij = D i (−1) Q ij = Q ij D j (−1) = I n − E ii − E jj + E ij + E ji .Verificaţi aceste egalităţi! Observaţi forma matricei P ij şi efectul său la înmulţire:matricea AP ij (respectiv P ij A)seobţine din A prin interschimbarea liniilor (respectivcoloanelor) i şi j. Şi nu în ultimul rând, arătaţi că P ij este inversabilă şi Pij −1 = P ij .3. Rezolvarea problemei. Să demonstrăm aşadar următoareaPropoziţie. Fie K un corp comutativ infinit şi A ∈ M n (K) omatriceacăreiurmă este zero. Atunci există matricele X, Y ∈ M n (K) astfel încât A = XY −YX.Demonstraţie. Pentru început vom presupune că nuexistă nici o submulţimeamulţimii {a 11 ,a 22 ,...,a nn } a elementelor de pe diagonala principală amatriceiApentru care suma elementelor să fienulă, desigur, cu excepţia întregii mulţimi (vomvedea imediat la ce ne foloseşte această presupunere, iar la sfârşit ne vom da seama cănu este prea restrictivă). Deoarece, conform ipotezei, avem a 11 + a 22 + ···+ a nn =0,se pot determina elementele a 1 ,a 2 ,...,a n ∈ K astfel încâta 11 = a 1 − a 2 , a 22 = a 2 − a 3 ,...,a n−1,n−1 = a n−1 − a n ,a nn = a n − a 1 .Eclarcă, datorită ipotezei suplimentare pe care am făcut-o, oricare două dintreelementele a 1 ,a 2 ,...,a n sunt distincte; vom folosi acest lucru mai departe.Putem scrie pe A în forma A = B − C, unde⎛⎞ ⎛⎞a 1 0 ... 0 0a 2 −a 12 ... −a 1,n−1 −a 1na 21 a 2 ... 0 0B =⎜ ... ... ... ... ...⎟⎝a n−1,1 a n−1,2 ... a n−1 0 ⎠ ,C= 0 a 3 ... −a 2,n−1 −a 2n⎜... ... ... ... ...⎟⎝ 0 0 ... a n −a n−1,n⎠ .a n1 a n2 ... a n,n−1 a n 0 0 ... 0 a 1Aşa cum am arătat la început, pentru rezolvarea problemei ar fi suficient săarătăm că matricele B şi C sunt asemenea. În acest scop, vom arăta că B ∼ B 0 ,C ∼ C 0 , unde⎛⎞ ⎛⎞a 1 0 ... 0a 2 0 ... 0B 0 = ⎜ 0 a 2 ... 0⎟⎝... ... ... ... ⎠ ,C0 = ⎜ 0 a 3 ... 0⎟⎝... ... ... ... ⎠0 0 ... a n 0 0 ... a 1şi B 0 ∼ C 0 . Folosind faptul că asemănarea matricelor este o relaţie de echivalenţă,obţinem că B ∼ C.Să leluăm pe rând. Ne amintim că înmulţirea unei matrice cu matricea P ij lastânga (respectiv la dreapta) schimbă între ele liniile (respectiv coloanele) i şi j aleacelei matrice. De aceea, pentru M ∈ M n (K), matricea P ij MPij−1 = P ij MP ij13
Page 1 and 2: Al V-lea Congres internaţionalal m
Page 3 and 4: Observatorul din Iaşi—90deanidel
Page 5 and 6: Marea teoremă a lui Fermat pentru
Page 7: şi, ca urmare, cel mai mare divizo
Page 10 and 11: De la o problemă cu matrice la tra
Page 14 and 15: are schimbate între ele elementele
Page 16 and 17: Trei perle ale olimpiadelor de mate
Page 18 and 19: Atunci este clar că (n, p − 1) =
Page 20 and 21: În legătură cuoproblemădeconcur
Page 22 and 23: Asupra unei probleme propuse la O.
Page 24 and 25: Asupra unei ecuaţii funcţionaleLo
Page 26 and 27: Pentru x = y =0,obţinem f (0) = 1
Page 28 and 29: Ca urmare, în condiţia impusă tr
Page 30 and 31: Intersecţia celor două drepteseob
Page 32 and 33: adică Y = X. Săobservăm în fina
Page 34 and 35: Propoziţia 2. Fie A 1 A 2 ...A n u
Page 36 and 37: Numărul polinoamelor ireductibile
Page 38 and 39: Funcţiile lui Smarandache — prop
Page 40 and 41: În legătură cuoproblemădearitme
Page 42 and 43: funcţii f care satisfac ipotezele
Page 44 and 45: Concurs de admitere 2003, IaşiFacu
Page 46 and 47: 2. Aflaţi numărul termenilor raţ
Page 48 and 49: anul în care ne aflăm mi-ar trebu
Page 50 and 51: că p 3 = p 2 +2şi p 4 = p 2 +4. S
Page 52 and 53: = 1 ·2n − 1+ 1 ¸(2n − 1) 2n·
Page 54 and 55: (a + b + c) 3 − ¡ a 3 + b 3 + c
Page 56 and 57: Soluţie. Ecuaţia dată esteechiva
Page 58 and 59: Dacă facem notaţia log 2 b x = α
Page 60 and 61: ⎛⎞⎛⎞λ 1 0 ... 0m 11 m 12 .
Page 62 and 63:
1lentă cu − 1 ≤ y n+1 , ∀n
Page 64 and 65:
Soluţie. Adunând cele două rela
Page 66 and 67:
câte trei elemente din mulţime, o
Page 68 and 69:
qOR =qd 2 − d 2 1 , OC = d 2 −
Page 70 and 71:
comună interioară cercurilor C 1
Page 72 and 73:
k n .Avemk 1 + k 2 + ···+ k n =3
Page 74 and 75:
Probleme propuseClasele primareP.64
Page 76 and 77:
VII.47. Să serezolveînZ 2 ecuaţi
Page 78 and 79:
XI.48. Se defineşte şirul (x n )
Page 80 and 81:
A. Nivel licealL56. Fie ABCD patrul
Page 82 and 83:
V.37; COHAL Călin: P(48,58,60,63),
Page 84:
POSTEUCĂ Bogdan(Şc. nr. 5, Braşo
show all

format .pdf, 0.9 MB - RecreaÅ£ii Matematice

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?