format .pdf, 0.9 MB - RecreaÅ£ii Matematice

More documents

Recommendations

Info

că p 3 = p 2 +2şi p 4 = p 2 +4. Se observăcă p 1 =2, p 2 =3, p 3 =5şi p 4 =7esteosoluţie a problemei (2 +3+5+7=17 este număr prim). Dacă p 2 > 3, atuncip 2 =3k +1sau p 2 =3k +2, k ∈ N ∗ . În cazul p 2 =3k +1,avemp 3 =3k +3carenu este prim, iar în cazul p 2 =3k +2,avemp 4 =3k +6,carenuesteprim.Aşadar,p 1 =2, p 2 =3, p 3 =5, p 4 =7este singura soluţie.V.40. Este posibilă o partiţionare a mulţimii {1, 2,...,12n +9} în 4n +3 submulţimidisjuncte, fiecare cu câte trei elemente, astfel încât în fiecare submulţime unelement să fie suma celorlaltor două?Titu Zvonaru, BucureştiSoluţia I. Fie {a, b, c} omulţime astfel încât a = b + c. De aici, rezultă căelementele mulţimii {a, b, c} sunt ori toate pare, ori două impareşi unul par. Aşadar,pentru ca săfieposibilăopartiţie ca în problemă, trebuie ca mulţimea datăsăconţinăun număr par de numere impare. Deoarece mulţimea dată are6n+5 numere impare,rezultă căpartiţionarea nu este posibilă.Soluţia II. Să presupunem că ar fi posibilăopartiţie în condiţiile impuse. Atunci,fiecare din cele 4n +3 submulţimi de trei elemente are suma elementelor egală cuunnumăr par, deci suma elementelor mulţimii {1, 2,...,12n +9} ar trebui să fienumăr(12n + 10) (12n +9)par. Cum, 1+2+···+12n +9= =(6n +5)(12n +5),careeste un număr impar, rezultă căpartiţionarea cerută nu este posibilă.Clasa a VI-aVI.36. Fie k ∈ N, k ≥ 3. Arătaţi că printre valorile naturale ale lui n care facadevărată propoziţia n 2 + k . n + k, existăcelpuţin trei pătrate perfecte.Claudiu Ştefan Popa, IaşiSoluţie. Din n 2 + k = n 2 − k 2 + k 2 + k =(n − k)(n + k) +k 2 + k, rezultăcăn 2 +k . n+k dacă şi numai dacă k 2 +k . n+k. CumA = © k, k +1,k 2 + k ª ⊂ D k 2 +k,putem lua n + k din mulţimea A şi atunci obţinem n ∈ © 0, 1,k 2ª . Astfel, am găsittrei pătrate perfecte care verifică cerinţa problemei.VI.37. Numerele 1160, 1604 şi 2270 dau acelaşi rest la împărţirea prin n. Aflaţiîmpărţitorul n.Cristian Lazăr, IaşiSoluţie. Conform ipotezei, avem: 1160 = nc 1 +r, 1604 = nc 2 +r, 2270 = nc 3 +r,unde r
în relaţia (1), găsim x n = 1n +1 ,adică x = n ,carenuaparţine lui N.n +1VI.39. Radu şi Mihai joacă demaimulteoriunjocînurmacăruia câştigătorulprimeşte a puncte, iar cel care pierde primeşte b puncte ( a, b ∈ N ∗ , a>b). Dacăscorul final este 61 − 49 în favoarea lui Radu, iar Mihai a câştigat 4 partide, aflaţia şi b.Adrian Zanoschi, IaşiSoluţie. Dacănotăm cu x numărul partidelor câştigate de Radu, avem: xa+4b ==61, 4a + xb =49, de unde obţinem că (x +4)(a + b) = 110. De aici, având învedere că x +4≥ 9 şi a + b ≥ 3, rezultă că x +4=22şi a + b =5sau x +4=11şi a + b =10sau x +4=10şi a + b =11. În primul caz, avem x =18, dar atuncixa +4b este un număr par, diferit de 61, deciaceastăsituaţie nu convine. Procedândla fel, constatăm că nici al treilea caz nu convine. În al doilea caz, găsim x =7, a =7şi b =3,careestesoluţia problemei.VI.40. Fie 4ABC cu m( A) b = 120 ◦ . Perpendiculara în C pe AC intersecteazămediatoarea lui [AB] în D; notăm {E} = CD ∩ AB. Săsearatecă AB =2ACdacă şi numai dacă m(\BDE) =90 ◦ şi BE =2AB.Ioan Săcăleanu, HârlăuSoluţie. Fie M mijlocul lui AB.Presupunem că AB =2AC. În acest cazDrezultă că AM = AC, deci \CDA = \ADM == \MDB = α. Cum suma unghiurilor patrulateruluiDMAC este 360 ◦ , obţinem căCα =30 ◦ , deci \BDE =90 ◦ . Triunghiul DABeste isoscel şi are unghiul \BDA de 60 ◦ ,adicăeste echilateral şi, prin urmare, DA = AB. ÎnB M AEplus \DBA =60 ◦ ,deci [AEC =30 ◦ . Atunci4ACD ≡ 4ACE (C.U.), de unde AD = AE. Înconcluzie,BA = AD = AE, adicăBE =2AB.Fie acum \BDC =90 ◦ şi A mijlocul lui BE. CumAC k BD, rezultă că [AC] estelinie mijlocie în triunghiul BDE, deci AC = 1 2 BD. Din [CAE =60 ◦ şi CA k BD,obţinem că \DBA =60 ◦ , deci triunghiul DBA este echilateral, ceea ce conduce laconcluzia BD = AB. Aşadar, avem AC = 1 AB sau AB =2AC.2Clasa a VII-ar r r1 2 2n − 1VII.36. Să searatecăn + n + ···+ < 2n − 1, ∀n ∈ N, n ≥ 2.nCătălin Calistru, IaşiSoluţia I (un grup de elevi derla Colegiul Naţional din Iaşi şi AlexandrukNegrescu, elev,Botoşani). Avemn < 1+k/n = k + n , ∀k = 1, 2n − 1. Ca2 2nurmare,r r r1 2 2n − 1n + n + ···+ < 1 ·2n − 1+ 1 (1 + ···+(2n − 1))¸=n 2 n51
Page 1 and 2: Al V-lea Congres internaţionalal m
Page 3 and 4: Observatorul din Iaşi—90deanidel
Page 5 and 6: Marea teoremă a lui Fermat pentru
Page 7: şi, ca urmare, cel mai mare divizo
Page 10 and 11: De la o problemă cu matrice la tra
Page 12 and 13: T ij (a). Fie A =(a kl ) 1≤k,l≤
Page 14 and 15: are schimbate între ele elementele
Page 16 and 17: Trei perle ale olimpiadelor de mate
Page 18 and 19: Atunci este clar că (n, p − 1) =
Page 20 and 21: În legătură cuoproblemădeconcur
Page 22 and 23: Asupra unei probleme propuse la O.
Page 24 and 25: Asupra unei ecuaţii funcţionaleLo
Page 26 and 27: Pentru x = y =0,obţinem f (0) = 1
Page 28 and 29: Ca urmare, în condiţia impusă tr
Page 30 and 31: Intersecţia celor două drepteseob
Page 32 and 33: adică Y = X. Săobservăm în fina
Page 34 and 35: Propoziţia 2. Fie A 1 A 2 ...A n u
Page 36 and 37: Numărul polinoamelor ireductibile
Page 38 and 39: Funcţiile lui Smarandache — prop
Page 40 and 41: În legătură cuoproblemădearitme
Page 42 and 43: funcţii f care satisfac ipotezele
Page 44 and 45: Concurs de admitere 2003, IaşiFacu
Page 46 and 47: 2. Aflaţi numărul termenilor raţ
Page 48 and 49: anul în care ne aflăm mi-ar trebu
Page 52 and 53: = 1 ·2n − 1+ 1 ¸(2n − 1) 2n·
Page 54 and 55: (a + b + c) 3 − ¡ a 3 + b 3 + c
Page 56 and 57: Soluţie. Ecuaţia dată esteechiva
Page 58 and 59: Dacă facem notaţia log 2 b x = α
Page 60 and 61: ⎛⎞⎛⎞λ 1 0 ... 0m 11 m 12 .
Page 62 and 63: 1lentă cu − 1 ≤ y n+1 , ∀n
Page 64 and 65: Soluţie. Adunând cele două rela
Page 66 and 67: câte trei elemente din mulţime, o
Page 68 and 69: qOR =qd 2 − d 2 1 , OC = d 2 −
Page 70 and 71: comună interioară cercurilor C 1
Page 72 and 73: k n .Avemk 1 + k 2 + ···+ k n =3
Page 74 and 75: Probleme propuseClasele primareP.64
Page 76 and 77: VII.47. Să serezolveînZ 2 ecuaţi
Page 78 and 79: XI.48. Se defineşte şirul (x n )
Page 80 and 81: A. Nivel licealL56. Fie ABCD patrul
Page 82 and 83: V.37; COHAL Călin: P(48,58,60,63),
Page 84: POSTEUCĂ Bogdan(Şc. nr. 5, Braşo

format .pdf, 0.9 MB - RecreaÅ£ii Matematice

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?