format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

are schimbate între ele elementele de pe diagonala principală situate pe liniile (şicoloanele) i şi j; de asemenea, mai sunt afectate şi celelalte elemente de pe liniile şicoloanele i şi j. Aceasta nu are însă importanţă în cazul unor matrice precum B 0sau C 0 , la care toate elementele din afara diagonalei principale sunt zerouri; astfelP ij B 0 Pij −1 = P ij B 0 P ij este o matrice care diferă deB 0 doar prin aceea că şi-auschimbat între ele locurile două elemente de pe diagonala principală, anume a i şia j . Cum orice permutare e produs de transpoziţii, e clar că după unnumăr finitde asemenea transformări o putem aduce pe B 0 la orice formă în care pe diagonalaprincipală aparelementelea 1 ,a 2 ,...,a n permutate cumva (şi în rest, zerouri). Înparticular, B 0 este asemenea cu C 0 .Să arătăm acum că B ∼ B 0 (şi nu vom mai face demonstraţia pentru C ∼ C 0 ,eafiind întru totul asemănătoare). Începem prin a observa următorul calcul:µ µ µ µ µ 1 0 α 0 1 0α 0 α 0== ,a 1 β γ −α 1 a (α − γ)+β γ 0 γdacă a este ales convenabil, adică dacă a = β/(γ − α); desigur, asta se poate facenumai în cazul în care α 6= γ.Un calcul asemănător se poate face şi pentru matrice de ordin n. Dacăvomconsidera T ij (a) BT ij (a) −1 = T ij (a) BT ij (−a), undei>j,elementula ij din poziţia(i, j) se înlocuieşte cu a (a j − a i )+a ij şi a poate fi ales astfel încât acest element sădevină nul(căci am presupus că a i 6= a j ). Mai sunt afectate şi celelalte elemente aleliniei i (la care se adună liniaj înmulţită cua) şi ale coloanei j (lacareseadunăcoloana i înmulţităcu−a). Remarcăm că aceste transformări oricum nu pot modificazerourile de deasupra diagonalei principale, care rămân intacte, şi nici elementele depe diagonala principală.Acumeclarceavemdefăcut: mai întâi calculăm T 21 (a) BT 21 (a) −1 care, pentruun a bine ales reprezintă omatriceB 1 asemenea cu B care are în poziţia (2, 1) pezero (asta dacă nu era dinainte; de altfel se poate vedea uşor că, dacă a 21 =0,atunci a care ne trebuie este a =0deci T 21 (a) =T 21 (0) este, de fapt, matriceaidentică). Apoi, pentru această matrice calculăm T 31 (a) B 1 T 31 (a) −1 ,carepentruunanumit a este o matrice asemenea cu B 1 (deci şi cu B) şi are 0 în poziţia (3, 1); sepoate vedea că elementul0 obţinut la pasul anterior nu va fi afectat. Continuămastfel, lucrând cu matrice de forma T i1 (a) până cândtoateelementeledepeprimacoloană "de sub" a 1 devin zerouri, apoi trecem şi facem zerouri pe coloana a doua,"sub" a 2 , folosind transformări de tip T 32 (a) ,...,T n2 (a) (adică înmulţim cu acesteala stânga şi cu inversele lor la dreapta; la fiecare pas similaritatea matricelor sepăstrează), în ordine, alegând, desigur, de fiecare dată valoare care trebuie pentru a.Elementele nule obţinute pe prima coloană nu vor fi afectate, la fel cele de pe sau dedeasupra diagonalei principale, Tot aşa vom proceda până când, la urmă, ajungemla o matrice care are partea de deasupra diagonalei principale neschimbată, la feldiagonala principală, iar sub diagonala principală are numai zerouri, adică ajungemla B 0 şi la concluzia dorită că aceasta este asemenea cu B.În concluzie, am arătat că matriceleB şi C sunt asemenea, deci am ajuns acolounde ne-am propus: există V ∈ GL n (K) astfel încât C = VBV −1 ; atunci A == B − C = B − VBV −1 şi notând X = BV −1 , Y = V avem A = XY − YX.Demonstraţia ar fi încheiată, dacă n-armaifiunmicamănunt de lămurit: ce14