format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

comună interioară cercurilor C 1 şi C 2 taie cercul C în A şi A 1 ,dreaptaAB taie C 11în K, iarAC taie C 2 în L. SăsearatecăDA + 1 = 2DA 1 KL .Neculai Roman, Mirceşti (Iaşi)Soluţie. Fie {M} = C 1 ∩ BC, {N} = C 2 ∩ BC şi Tun punct pe tangenta în B la cercurile C 1 şi C 2 .AArătăm că dreapta KL este tangenta comună Cexterioară cercurilor C 1 şi C 2 . Într-adevăr, avemKm( \MKB)=m( \MBT)=m( [CBT) =m(\CAB), deciLMK k CA. Ca urmare, \MKL ≡ \KLA. CumD \KLA ≡ \CBA, deoarece 4KLA ∼ 4CBA (fapt ceNdecurge din AK · AB = AL · AC = AD 2 ), rezultă căM CC \MKL ≡ \CBA. Deci \MKL ≡ \MBA,adică KL este2B C 1tangentă la cercul C 1 . Analog se aratăcădreptaKLT A 1este tangentă laC 2 .Aplicăm teorema lui Casey pentru cercurile C 1 , C 2 , cercurile degenerate A, A 1tangente interior la C şi obţinem relaţia AD · A 1 D + AD · A 1 D = AA 1 · KL sau2KL = AA 1AD · A 1 D ,adică 2KL = 1AD + 1A 1 D .L38. Fie 4ABC şi punctele D, D 0 ∈ BC conjugate armonic în raport cu vârfurileB şi C. Cercul circumscris 4ADD 0 intersectează AB în M şi AC în N.Arătaţi că, dacă MN ⊥ BC, atunci[AD şi [AD 0 sunt bisectoarele unghiului A b(interioară şi exterioară) sau m( A)=90 b ◦ .Temistocle Bîrsan, IaşiSoluţie. Avem MN ⊥ DD 0 ⇔ MD 2 + ND 02 = MD 02 + ND 2 (1). DacănotămDBDC = D0 BαaD 0 = α, atunci BD =C 1+α , CD =M= a1+α , BD0 = αaα − 1 , CD0 =a (2). Exprimândputerea punctelor B şi C faţă de cerculα − 1A(ADD 0 ), vom obţine relaţiile: c · BM = BD · BD 0şi b · CN = CD · CD 0 sauD´BM = α2 a 2c (α 2 − 1)şi CN =a 2b (α 2 − 1) . (3)Utilizând teorema cosinusului în 4BMD, 4CND 0 , 4BMD 0 şi 4CND, (1) se scrie¡BM 2 + BD 2 − 2BM · BD cos B ¢ + ¡ CN 2 + CD 02 − 2CN · CD 0 cos C ¢ == ¡ BM 2 + BD 02 − 2BM · BD 0 cos B ¢ + ¡ CN 2 + CD 2 +2CN · CD cos C ¢şi, ţinând seama de (2) şi (3), găsim −4α ¡ α 2 − 1 ¢ a 2 + 4α3 a 3cos B − 4a3 αcos C =0.cbDin nou utilizând teorema cosinusului, obţinem− ¡ α 2 − 1 ¢ 2b 2 c 2 + α 2 b 2 ¡ a 2 + c 2 − b 2¢ − c 2 ¡ a 2 + b 2 − c 2¢ =0 saub 2 ¡ a 2 − b 2 − c 2¢ α 2 − c 2 ¡ a 2 − b 2 − c 2¢ =0,ultima echivalentă cuα = ± c b sau a2 = b 2 + c 2 ,deunderezultăconcluzia.70BDCN