format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

XI.48. Se defineşte şirul (x n ) n≥0prin x n = x 2 n−1 − [x n−1 ], ∀n ≥ 1; x 0 ∈∈ £ 0, ¡ 1+ √ 5 ¢ /2 ¢ .Săsearatecă lim n =0.n→∞Cătălin Ţigăeru, SuceavaXI.49. Fie (x n ) n≥0, (a n ) n≥0 şiruri de numere reale astfel încât∞Pa n < ∞,n=1|x n+1 − 2x n + x n−1 | + |x n+1 − 3x n +2x n−1 | ≤ a n , ∀n ≥ 1. Săsearatecă (x n ) n≥0este convergent.Paul Georgescu şi Gabriel Popa, Iaşiµ nx + yXI.50. Fie n ∈ 2 N, iarf : R → R ofuncţie cu proprietatea că f≥n +1≥ f ( n+1√ x n y), ∀x, y ∈ R. Săsearatecă funcţia este descrescătoare pe (−∞, 0] şicrescătoare pe [0, ∞). (În legătură cuProblema 2819 din Crux Mathematicorum,nr. 2/2003.)Titu Zvonaru, BucureştiClasa a XII-aXII.46. Să se determine funcţia f : R → R dacă (R, ∗) este grup abeliancu proprietatea că simetricul oricărui element x ∈ [−1, 1] se află în[−1, 1], undex ∗ y = f (x)+f (y), ∀x, y ∈ R.Ioan Săcăleanu, HârlăuXII.47. Fie G = (a, b), a, b ∈ R, iar "·" înmulţirea numerelor reale. Să sedetermine a, b astfel încât ¡ R ∗ +, ·¢ ∼ = (G, ·) printr-un izomorfism de forma f : R∗+ → G,f (x) = αx + βγx + δ , ∀x ∈ R∗ +,cuα, β, γ, δ ∈ R.Alexandru Blaga şi Ovidiu Pop, Satu MareXII.48. Fie (G, ·) grup de element neutru e şi x, y ∈ G penrtru care avem:a) ∃k ∈ N ∗ \{1} a. î. x k = e; b) ∃p ∈ N ∗ \{1} a. i. xy = y p x.Să searatecă:1) xy n x k−1 = y np , ∀n ∈ N ∗ ; 2) xy = yx ⇔ y n(p−1) = e, ∀n ∈ N ∗ .Mihai Haivas, IaşiXII.49. Se consideră numerele reale b > a ≥ 0, c ≥ 1 şi funcţiile continueZ nbf,g : R + → R + astfel încât lim g (x) dx = d ∈ R. Săsearatecă şirul (u n )n→∞n≥1,Z bna1u n =dx este convergent şi să se afle limita sa.a c + f (x)+g (nx)D. M. Bătineţu - Giurgiu, Bucureştis (n!)XII.50. Fie s (n) suma cifrelor numărului natural n. Săsecalculeze limn→∞ ln k ln n ,unde k ∈ N este fixat.Gabriel Dospinescu, student, Bucureşti78