A. Nivel licealL56. Fie ABCD patrulater convex şi {P } = AB ∩ CD, {Q} = AD ∩ BC.Considerăm J ∈ (AQ), L ∈ (BQ), K ∈ (DP), N ∈ (AP ) astfel încât QJ = AD,QL = CB, PK = DC şi PN = AB. Săsearatecă JL k NK.Carmen Nejneru, IaşiL57. Fie 4ABC înscris în cercul C şi punctele D ∈ (CB, D 0 ∈ (BC astfel încât\CAD ≡ \ABC, \BAD 0 ≡ \ACB. Semaiconsideră cercul C 1 tangent la AD, BD şi laC, cercul C 2 tangent la AD 0 , CD 0 şi la C, iar{E} = C 1 ∩ [BD], {F } = C 2 ∩ [D 0 C]. Săse arate că cercul circumscris 4AEF şi cercul înscris în 4ABC sunt concentrice.Neculai Roman, Mirceşti (Iaşi)L58. Pe muchiile (Ox, (Oy şi (Oz ale unui triedru oarecare se consideră puncteleA, L ∈ (Ox, B,M ∈ (Oy şi C, N ∈ (Oz astfel încât OA = OB = OC = a şi OL == OM = ON = b (a 2) două poligoane înscrise în acelaşicerc de centru O şi având centrele de greutate tot în O. Săsearatecăputemrenumerotavârfurile poligonului A 1 A 2 ...A n pentru a obţine un nou poligon A i1 A i2 ...A inîn care A ij 6= B j pentru j ∈ {1, 2,...,n}.Gabriel Dospinescu, student, BucureştiL61. Fie n ≥ 3. Să se determine maximul expresiei E = x 3 1 x2 2 + x3 2 x2 3 + ···++x 3 nx 2 1+(n−1) 2(n−1) x 3 1x 3 2 ···x 3 n, când numerele nenegative x 1 , x 2 ,...,x n au suma 1.Gabriel Dospinescu, student, BucureştiL62. Rezolvaţi ecuaţia 2x 2 = y (y +1); x, y ∈ N.Mircea Bîrsan, IaşiL63. Fie G ⊂ M n (R) un grup netrivial în raport cu produsul uzual al matricelor.Presupunem că există X ∈ G astfel încât pe fiecare linie, respectiv coloană asasăexiste cel mult un element nenul şi acesta egal cu 1. Să se demonstreze că existăk ∈ {1, 2,...n} astfel încât G este izomorf cu un subgrup al lui GL k (R) (s-a notatGL n (R) ={A ∈ M n (R) | det A 6= 0}).Ovidiu Munteanu, BraşovL64. Fie şirul (x n ) n≥1definit prin: x 1 ,x 2 ∈ N ∗ , x n+2 = [x n+1,x n ], n ≥ 1. Dacăx n+1x 2003 = 2004, demonstraţi că şirul nu este convergent.Iuliana Georgescu şi Paul Georgescu, IaşiL65. Fie n ∈ N şi funcţiile f,g : R → R, unde f (x) =x 2n cos (1/x), ∀x 0, iarg (x) =x 2n+1 sin (1/x), ∀x 0. Să se afle cel mai înalt ordin de derivabiliate alacestor funcţii şi să se studieze problema continuităţii acestor derivate în origine.Gheorghe Costovici, Iaşi80
Pagina rezolvitorilorBOTOŞANIColegiul Naţional "A. T. Laurian". Clasa a IX-a. NEGRESCU Alexandru:VII(39,40,42,44), VIII(36,40,42), IX(36,37,39), X(39,40), G(42,54).BRAŞOVŞcoala gen. nr. 5. Clasa a VII-a. POSTEUCĂ Bogdan: V.37, VI (37,38,40),VII.39; POSTEUCĂ Raluca: V.37, VI (37,38,40), VII.39.CONSTANŢAColegiul Naţional "Mircea cel Bătrân". Clasa a X-a. LUPU Cezar: VIII.37,IX(38,39,40), X(38,40), XI(37,38).CRAIOVAŞcoala nr. 22 "M. Eliade". Clasa a IV-a (înv. VANŢU Angela). STANCIUIoan: P(54-63).HÂRLĂU (Iaşi)Liceul "Ştefan cel Mare". Clasa a VI-a. CIOFU Alexandra: P(50,52), V.37,VI.39, VII.41; SAVA Cristina Amelia: P(52,61,63), V(41,44); SCRIPCARIU Gabriela:P.61, V(41,44), VI(37,42); SPIRIDON Florin: P(50,61), V(37,41), VII.41; SURUGIUIonuţ: V(37-39), VI(38,39). Clasa a VIII-a. ANTOCI Bogdan: VI(39,40,44,45),VII.44; BURICAN Bogdan - Alexandru: VI(37,38,42,44,45), VII(41,44); ROTARULucian: VI(39,40,44,45), VII.44.HUNEDOARALiceul "Iancu de Hunedoara". Clasa a VII-a. CRĂCIUN Maria: V(43,44),VI(42,44), VII.41.IAŞIColegiul Naţional "C. Negruzzi". ClasaaV-a. OLARIU Tudor: P(51,52,61-63),V(43,45), VI.39; TIBA Marius: P(58,61-63), V(42,45), VI.42.Colegiul Naţional. Clasa a V-a. ANDRONIC Adrian: V(36,38,39,41-45), VI.42;ANDRONIC Adrian Constantin: V(36,38,39,41-45), VI.42; BALAN Elena-Lavinia:V(36,38,39,41-44); BARBACARIU Ioana: V(36,38,39,41,42); BERCU Tudor: V(36,38,39,41-44); CAPRARU Mădălina: V(36,38,41-44); CHELSĂU Andreas: V(36,38,39,40-45); CHIDIU Alexandru: V(36,38,39,41-45); DOBROVICEANU Cătălina:V(36,38,39,41-43); GAFIŢANU Oana: V(36,39,41-43); GEORGESCU Anca: P(61,62), V(36,38,41,42,44); MÂNZĂŢEANU Maria-Adelina: V(36,38,39,41-44); MIHAIMonica: V(36,38,39,41-44); MOŞNEGUŢU Cătălina Elena: V(36,38,39,41-44); PA-LAGHIA Irina: V(36,38,39,41-45); POPA Ana-Maria: V(36,38,39,41-43,45); PO-TUR George: V(36,38,39,41-44); SMARANDA Sava: V(36,38,40-44); TOMA Alexandra:V(36,38,39,41,42). ClasaaIX-a. CAZACU Roxana: VII.41, IX(37,38),G(40,47); CHIRUŢA Marta: VII.41, VIII.42, IX(38,39), G.40; HAMCIUC Adrian:VII(41,42), VIII.42, IX(36,39); PRODAN Diana: VII.41, IX(36,38), G(40,47); TI-MOFTE Diana: VII.41, IX(36,38), G(40,47). Clasa a X-a. DUMITRESCU Roxana:VIII(37,42), IX(37,39), X(36-38,42), G(40,50); PACHIŢARIU Marius: G(46-50,52), L(46,47,49,50). ClasaaXI-a. MUSTAŢĂ Irina: X.42, XI(41,43), XII.45,G(46,47,52), L(46,47).Liceul "M. Eminescu". ClasaaV-a. BOHOTIN Alexandru: P(48,49,51,53,61,62),81
- Page 1 and 2:
Al V-lea Congres internaţionalal m
- Page 3 and 4:
Observatorul din Iaşi—90deanidel
- Page 5 and 6:
Marea teoremă a lui Fermat pentru
- Page 7:
şi, ca urmare, cel mai mare divizo
- Page 10 and 11:
De la o problemă cu matrice la tra
- Page 12 and 13:
T ij (a). Fie A =(a kl ) 1≤k,l≤
- Page 14 and 15:
are schimbate între ele elementele
- Page 16 and 17:
Trei perle ale olimpiadelor de mate
- Page 18 and 19:
Atunci este clar că (n, p − 1) =
- Page 20 and 21:
În legătură cuoproblemădeconcur
- Page 22 and 23:
Asupra unei probleme propuse la O.
- Page 24 and 25:
Asupra unei ecuaţii funcţionaleLo
- Page 26 and 27:
Pentru x = y =0,obţinem f (0) = 1
- Page 28 and 29:
Ca urmare, în condiţia impusă tr
- Page 30 and 31: Intersecţia celor două drepteseob
- Page 32 and 33: adică Y = X. Săobservăm în fina
- Page 34 and 35: Propoziţia 2. Fie A 1 A 2 ...A n u
- Page 36 and 37: Numărul polinoamelor ireductibile
- Page 38 and 39: Funcţiile lui Smarandache — prop
- Page 40 and 41: În legătură cuoproblemădearitme
- Page 42 and 43: funcţii f care satisfac ipotezele
- Page 44 and 45: Concurs de admitere 2003, IaşiFacu
- Page 46 and 47: 2. Aflaţi numărul termenilor raţ
- Page 48 and 49: anul în care ne aflăm mi-ar trebu
- Page 50 and 51: că p 3 = p 2 +2şi p 4 = p 2 +4. S
- Page 52 and 53: = 1 ·2n − 1+ 1 ¸(2n − 1) 2n·
- Page 54 and 55: (a + b + c) 3 − ¡ a 3 + b 3 + c
- Page 56 and 57: Soluţie. Ecuaţia dată esteechiva
- Page 58 and 59: Dacă facem notaţia log 2 b x = α
- Page 60 and 61: ⎛⎞⎛⎞λ 1 0 ... 0m 11 m 12 .
- Page 62 and 63: 1lentă cu − 1 ≤ y n+1 , ∀n
- Page 64 and 65: Soluţie. Adunând cele două rela
- Page 66 and 67: câte trei elemente din mulţime, o
- Page 68 and 69: qOR =qd 2 − d 2 1 , OC = d 2 −
- Page 70 and 71: comună interioară cercurilor C 1
- Page 72 and 73: k n .Avemk 1 + k 2 + ···+ k n =3
- Page 74 and 75: Probleme propuseClasele primareP.64
- Page 76 and 77: VII.47. Să serezolveînZ 2 ecuaţi
- Page 78 and 79: XI.48. Se defineşte şirul (x n )
- Page 82 and 83: V.37; COHAL Călin: P(48,58,60,63),
- Page 84: POSTEUCĂ Bogdan(Şc. nr. 5, Braşo