format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

2. Aflaţi numărul termenilor raţionali din dezvoltarea binomială ¡ √ 37+ 5√ 3 ¢ 23.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 53. Fie sistemul⎧⎨⎩x + y + z =1ax + ay +2az = ba 2 x + a 2 y +2a 2 z = b 2 a, b ∈ R, b 6= 0.Care din următoarele afirmaţii este falsă?a) Dacă a =0, sistemul este incompatibil b) Dacă a = b, sistemulestecompatibilnedeterminat c) Există a, b ∈ R, b 6= 0astfel încât sistemul are soluţie unicăd) Dacă a 6= 0şi a 6= b, sistemul este incompatibil e) Dacă a =1şi b 6= 1, atuncisistemul este incompatibil4. Fie M =(−∞, −1) ∪ (−1, ∞) şi legea de compoziţie internă peM dată prinx ◦ y =3ax + by + xy, ∀x, y ∈ M, unde a, b ∈ R, b 6= 0.Săseaflea şi b astfel încât(M,◦) să fie grup abelian şi să se precizeze simetricul x 0 al unui element oarecarex ∈ M.a) a = 1 3 ,b=1,x0 = −xx +1d) a =1,b= 1 3 ,x0 = −xb) a =1,b=3,x 0 = xx +1e) a = 1 3 ,b=1,x0 = 1x +1c) a = 1 3 ,b=1,x0 = xx +1x +15. Se dă şirul definit prin relaţia x n+1 = x n +(−a) n , n ∈ N ∗ , x 1 =0, unde0 0, undey (x) este soluţia care satisface condiţia y (1) = 1.a) x ∈ (1, 2) b) x ∈ ¡ √ 32, ∞ ¢ ³ 1 ∞´c) x ∈ √ 32 ,d) x ∈ (2, 3) e) x ∈³0,13√2´8. Se dau triunghiurile ABC şi A 0 B 0 C 0 ce au centrele de greutate G şi G 0 . Atuncivectorul −−→ GG 0 este egal cua) 1 3 (−−→ AA 0 + −−→ BB 0 + CC −−→ 0 ) b) 1 4 (−−→ AA 0 + −−→ BB 0 + −−→ CC 0 ) c) 2 3 ( −→ −→ −→ −−→AB + BC+ CA+ A 0 B 0 +−−→B 0 C 0 + −−→ C 0 A 0 )d) 1 6 (−−→ AB 0 + −−→ BA 0 + −−→ AC 0 + −−→ CA 0 + BC −−→ 0 + −−→ CB 0 )e) 1 3 (−−→ AB 0 + BC −−→ 0 + −−→ CA 0 )9. Să se determine mulţimea punctelor din planul complex care sunt imaginilenumerelor z care verifică ecuaţia z 2 − z |z| + |z| 2 =0.a) două drepte perpendiculare b) un cerc cu centrul în origine c) două drepteparalele d) două semidrepte e) două cercuri concentrice110. Numărul soluţiilor ecuaţiei arctgx − 1 +arctg 1x +1 −arctg 1x 2 − 1 = π 4 estea) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) oinfinitate46