anul în care ne aflăm mi-ar trebui 13710 cifre. În ce an ne aflam când am pusîntrebarea?( ClasaaIII-a) Prof. Cătălin - Cristian Budeanu, IaşiSoluţie. Pentru scrierea numerelor de la 1 — 999 sunt necesare 2889 cifre. Rezultăcă anulnaşterii nu poate fi <strong>format</strong> din trei cifre. Într-adevăr, 2·2889+25·n
află greutatea de 200 g: 675 g — 200 g = 475 g zahăr.Clasa a V-aV.36. Fie n un număr impar, iar a 1 ,a 2 ,...,a n , n ∈ N ∗ numere care împărţitela n dau câturi distincte şi resturi distincte. Arătaţi că valoareaminimăasumeiS = a 1 + a 2 + ···+ a n este multiplu de 12.Dragoş Ungureanu, elev, IaşiSoluţie. Conform ipotezei, avem: a 1 = nc 1 +r 1 , a 2 = nc 2 +r 2 ,...,a n = nc n +r n ,unde {r 1 ,r 2 ,...,r n } = {0, 1, 2,...,n− 1}. Astfel, sumaS = a 1 + a 2 + ···+ a n = n (c 1 + c 2 + ···+ c n )+este minimă dacă {c 1 ,c 2 ,...,c n } = {0, 1, 2,...,n− 1}, deciS min = nn (n − 1)2+n (n − 1)2=n (n − 1)2n (n − 1) (n +1).2Cum n este impar, rezultă că (n − 1) (n +1) . . 8, deci S min. . 4.Pedealtăparte,deoarece n, n − 1, n +1sunt numere consecutive, rezultă că S min. . 3. Prin urmare,S min este multiplu de 12.V.37. Comparaţi fracţiile a = 333331333334şi b =222221222223 . Maria Cojocaru, IaşiSoluţie. Avem 1 a =1+ 3333331 şi 1 b =1+ 2 .Cum3 · 222221 > 2 · 333331,222221rezultă că 1 a > 1 b ,decib>a.V.38. Să searatecă 2 a +2 b +2 c +2 d +2 e 6= 2003, ∀a, b, c, d, e ∈ N.Irina Ispas, studentă, IaşiSoluţie. Presupunem că există cinci numere naturale a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e astfelîncât2 a +2 b +2 c +2 d +2 e = 2003. (1)Dacă a 6= 0, atunci termenul din stânga al egalităţii (1) este par şi atunci avem ocontradicţie. Pentru a =0,relaţia (1) devine: 2 b +2 c +2 d +2 e = 2002. Deoarece2 10 = 1024, rezultăcănumaie ar putea avea, eventual, valoarea 10.Dacă e =10,atunci2 b +2 c +2 d = 978. În acest caz, dacă b, c, d ≤ 8, atunci2 b +2 c +2 d ≤ 3 · 256 < 978. Aşadar, d =9şi 2 b +2 c = 466, ceea ce nu este posibil.Dacă toate numerele b, c, d, e sunt strict mai mici ca 10, seobservăcă cel multtrei numere pot fi 9 (altfel avem 2 b +2 c +2 d +2 e ≥ 4 · 512 > 2002) şi cel puţin treitrebuie să fie9 (deoarece, în caz contrar, avem 2 b +2 c +2 d +2 e < 2 9 +2 9 +2 8 +2 8
- Page 1 and 2: Al V-lea Congres internaţionalal m
- Page 3 and 4: Observatorul din Iaşi—90deanidel
- Page 5 and 6: Marea teoremă a lui Fermat pentru
- Page 7: şi, ca urmare, cel mai mare divizo
- Page 10 and 11: De la o problemă cu matrice la tra
- Page 12 and 13: T ij (a). Fie A =(a kl ) 1≤k,l≤
- Page 14 and 15: are schimbate între ele elementele
- Page 16 and 17: Trei perle ale olimpiadelor de mate
- Page 18 and 19: Atunci este clar că (n, p − 1) =
- Page 20 and 21: În legătură cuoproblemădeconcur
- Page 22 and 23: Asupra unei probleme propuse la O.
- Page 24 and 25: Asupra unei ecuaţii funcţionaleLo
- Page 26 and 27: Pentru x = y =0,obţinem f (0) = 1
- Page 28 and 29: Ca urmare, în condiţia impusă tr
- Page 30 and 31: Intersecţia celor două drepteseob
- Page 32 and 33: adică Y = X. Săobservăm în fina
- Page 34 and 35: Propoziţia 2. Fie A 1 A 2 ...A n u
- Page 36 and 37: Numărul polinoamelor ireductibile
- Page 38 and 39: Funcţiile lui Smarandache — prop
- Page 40 and 41: În legătură cuoproblemădearitme
- Page 42 and 43: funcţii f care satisfac ipotezele
- Page 44 and 45: Concurs de admitere 2003, IaşiFacu
- Page 46 and 47: 2. Aflaţi numărul termenilor raţ
- Page 50 and 51: că p 3 = p 2 +2şi p 4 = p 2 +4. S
- Page 52 and 53: = 1 ·2n − 1+ 1 ¸(2n − 1) 2n·
- Page 54 and 55: (a + b + c) 3 − ¡ a 3 + b 3 + c
- Page 56 and 57: Soluţie. Ecuaţia dată esteechiva
- Page 58 and 59: Dacă facem notaţia log 2 b x = α
- Page 60 and 61: ⎛⎞⎛⎞λ 1 0 ... 0m 11 m 12 .
- Page 62 and 63: 1lentă cu − 1 ≤ y n+1 , ∀n
- Page 64 and 65: Soluţie. Adunând cele două rela
- Page 66 and 67: câte trei elemente din mulţime, o
- Page 68 and 69: qOR =qd 2 − d 2 1 , OC = d 2 −
- Page 70 and 71: comună interioară cercurilor C 1
- Page 72 and 73: k n .Avemk 1 + k 2 + ···+ k n =3
- Page 74 and 75: Probleme propuseClasele primareP.64
- Page 76 and 77: VII.47. Să serezolveînZ 2 ecuaţi
- Page 78 and 79: XI.48. Se defineşte şirul (x n )
- Page 80 and 81: A. Nivel licealL56. Fie ABCD patrul
- Page 82 and 83: V.37; COHAL Călin: P(48,58,60,63),
- Page 84: POSTEUCĂ Bogdan(Şc. nr. 5, Braşo
Change language