Leonhard EULER

12
1. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM
n
V(n) = ∑
k=
1
n
∆V k = π h ∑
k=
1
r 2 (kh).
U koule o poloměru a je podle Pythagorovy věty r 2 (z) = a 2 – z 2 , tedy pro z = kh je dolní
odhad objemu koule (symetrie osy z vzhledem k počátku 0)
n
V(n) = 2 π h ∑
k=
1
(a 2 – k 2 h 2 ) = 2 π n
a (na 2 –
a
n
2
2
n
∑
k=
1
k 2 ) = 2 π a 3 (1 –
1
3
n
n
∑
k=
1
k 2 ) .
Obr. 1.8 – Dvě rotační tělesa.
n
Protože ∑
k=
1
k 2 = 6
n (n+1)(2n+1) (poznámka dále), je
V(n) =2 π a 3 1 n
(1 –
3 (n+1)(2n+1)) = 2 π a 3 1 1 1
(1 – (1+ )(2+ )) .
n 6
6 n n
Když nyní poroste n do nekonečna a tloušťka vrstviček h bude konvergovat k 0, bude
V = 2πa 3 lim n→∞ (1 – 6
1 (1+ n
1 )(2+ n
1 )) = 2 π a
3
(1 – 6
1
limn→∞ (1+ n
1 )(2+ n
1 )) = 3
4 π a 3 .
Obr. 1.9 – Koule vepsaná do válce. Boční pohled.
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER