Leonhard EULER

47
3. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE
Euler:
Weierstrass:
1
Γ(
z)
1
Γ(
z)
z
n
1 (
1 z
)
n
= z ∏ ∞ 1+
n= 1+
= z e γz ⎡ ( 1 + z
)
∏ ∞
n=
1
⎢
⎣
n
e
−
z
n
⎤
⎥
⎦
, γ = 0.5772…, Eulerova konstanta.
Obr. 3.14 – Absolutní hodnota funkce Γ(z) pro komplexní z v okolí počátku [86].
Weierstrassovy reprezentace funkce gama se dá použít k rychlému odvození vzorce
π
Γ(z) Γ(1–z) = .
sin πz
Je totiž
1
=
Γ(
z)
Γ(1
− z)
1
− z Γ(
z)
Γ(
−z)
= z e γz e –γz ⎡( 1+
z
)( 1−
z
)
Avšak, jak se dokazuje v matematické analýze [65,71,72], sin z = z ∏ ∞ ⎜
⎛ 1 −
= ⎝
ovšem
2 2
2
sin πz = πz ( 1−
π z
) = πz ( 1 )
2 2
−
2
∏ ∞
n=
1
n π
∏ ∞
n=
1
z
=
n
∏ ∞
n=
1
⎢
⎣
n
π
Γ( z)
Γ(1
− z)
n
e
−
z
n
e
z
n
⎤
⎥
⎦
n 1
2
= z ( 1−
)
2
∏ ∞
n=
1
a Γ(z) Γ(1–z) =
2
z
( nπ)
2
z
.
n
⎞
⎟
⎠
π
sin πz
. Pak
.
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER