Leonhard EULER

15
1. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM
1.6. Diferenciální rovnice, mechanika a další rozvoj matematiky
Proměnné, funkce a derivace mohou být svázány do relace, diferenciální rovnice.
Např. zrychlení volného pádu tělesa v atmosféře závisí na výšce a odporu vzduchu,
d y
který je funkcí rychlosti tělesa, R(
d t ). Pád z malé výšky y0 > 0 a při bezvětří lze
aproximovat jednodušším pohybem s konstantním gravitačním zrychlením –g a
d y
lineárním odporem vzduchu R(
d t
dy
)/
dt
= const (kvadratická závislost R(
by samozřejmě byla realističtější [27], jak dosvědčí každý cyklista)
d
dt
s počátečními podmínkami y(0) = y 0 ,
2
2
d y dy
) =
dt
dt
d y
(c 1 + c 2 )
d t
d
y + g + a y = 0 (*)
dt
d y (0) = 0.
dt
------
Relace (*) je lineární diferenciální rovnice a její řešení se najde snadno. Přepíšeme ji do tvaru
d
dt (
d
dt
y + ay) = –g. Z něj dostaneme
d
dt
y + ay = –gt + c, kde c = const. Pro t = 0 z počátečních
podmínek plyne
d
dt y(0) + a×y(0) = –g×0 + c, tj. c = ay0 . Řešení nové diferenciální rovnice
d
dt y + ay = –gt + ay0
hledejme ve tvaru y(t) = C(t) e –at . Po dosazení dostaneme
d
dt y(t) + a y(t) =
t
C(t) – C(0) = ∫
0
Takže y(t) = {C(0) + y 0 (e at – 1) –
odkud pro t = 0 plyne:
dC
e –at – aC e –at + aC e –at = –gt + ay
dt
0 , tj.
t
(–gt + ay 0 ) e at dt = y 0 e at – g ∫
0
g [ t e at +
a
y(0) = y 0 = C(0).
------
Rovnice (*) má pro a ≠ 0 řešení
Po rozvinutí exponenciály v řadu
dC
dt
t e at dt = y 0 (e at – 1) –
1 (1 – e at )]} e –at = C(0) e –at –
a
g g
y(t) = y 0 – t +
−at
a
( 1− e )
a
2
= (–gt + ay 0 ) e at a
.
g [ t e at +
a
g t + (y0 +
a
1 (1 – e at )] .
a
g
2
a
)(1 – e –at ),
2
gt ⎛ 3 4 2 5 ⎞
y(t) = y 0 – + ag⎜
t at a t
− + − ... ⎟
2
⎝ 3! 4! 5! ⎠
je ihned zřejmé, že pro a = 0 (nulový odpor) dostáváme elementární volný pád ve
vakuu.
Obr. 1.11 ilustruje pád tělesa v gravitačním poli na povrchu Země (g = 9.8m/s 2 )
z výšky 10m při různém a, tedy s různým odporem prostředí. Funkce y pro nejhustší
prostředí s a = 3s –1 je prakticky lineární už pro t >1s (kámen ve vodě), u funkce y pro
a = 0.2s –1 by se linearity dosáhlo až po mnohem delším čase (>30s, kámen ve vzduchu).
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER