Leonhard EULER

55
3. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE
Obr. 3.17 ukazuje řešení diferenciální rovnice
x 2 y´´ + 2x y´ + y = 0
s počátečními podmínkami y(1) = 0, y´(1) = 0.2 a přibližné řešení získané Eulerovou
metodou s krokem h = 0.1.
y, y´
0.12
0.10
0.08
Přesné řešení
Euler, h = 0.1
0.06
0.04
0.02
Derivace y´(x)
0.00
-0.02
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
Obr. 3.17 – Srovnání přibližného řešení Eulerovou metodou s hrubým krokem h = 0.1 s přesným řešením.
Postup. Rovnice 2. řádu se nahradí vektorovou rovnicí (systémem dvou rovnic 1. řádu)
⎛ y
y´ =
⎛ ′
2 ⎞
y1
⎞ ⎜
⎟
⎜ ⎟ =
⎝ y′
2 ⎠ ⎜
2y2
y
⎛ f1(
x,
y)
⎞
1
− ( + )
⎟
= ⎜ ⎟ = f(x, y)
2
⎝ x
⎝ f 2 ( x,
y)
⎠
x ⎠
a iterace s krokem h = x i+1 – x i , y i = y(x i ) atd. je vyjádřena rovností y i+1 = y i + f(x i , y i ) h,
tj. ve složkách
⎛ y1,
i + y2,
ih
⎞
⎛ yi+
1 ⎞ ⎛ y
⎞
⎜ ⎟ =
i + yi′
h
⎛ y1,
i+
1
⎝ yi′ ⎜
⎟
+ 1 ⎠ ⎝ yi′
+ f 2 (
, resp.
xi
, yi
, yi′
) h ⎠
⎟ ⎞ ⎜
⎟
⎜ =
⎝
y
⎜ 2y2,
i y1,
i ⎟ .
2, i+
1 ⎠ ⎜
y2,
i − ( + ) h
⎟
⎝
x
2
i xi
⎠
Přibližné řešení s krokem h = 0.01 je už graficky nerozlišitelné od přesného řešení.
Přesné řešení se získá z počátečních podmínek a obecného řešení
y(x) =
tedy pro C 1 = 0 a C 2 = 0.2 / 3 .
1
[C 1 cos ( 3 x
2
ln x) + C 2 sin( 3 2
ln x)],
Eulerova metoda obvykle poskytuje první hrubou informaci o řešení a má tedy spíš
kvalitativní charakter. Jak již bylo řečeno, v praxi se obvykle pro numerické řešení
používají přesnější ale také složitější metody.
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER