Leonhard EULER

68
4. EULEROVY STOPY VE FYZICE
E kin (
dφ( t)
dt
) = 2 1 (
dφ( t)
dt
) 2 ∫
(T)
r 2 (x, y, z) dm(x, y, z) .
Integrál na pravé straně se nazývá moment setrvačnosti vzhledem k horizontální ose
otáčení procházející počátkem 0 (kolmo na osy x, z na obr. 4.5). Označíme jej J. Pak
Obr. 4.5 – Fyzické kyvadlo.
E kin = 2 1 J (
dφ( t)
dt
) 2 .
Potenciální energie je rovna práci tíže při
přemístění těžiště G do výšky h = l (1 – cos φ),
E pot (φ(t)) = mgh = mg l (1 – cos φ(t)),
Zachování energie vyžaduje otáčení
kyvadla beze ztrát, tj. beze ztrát třením
v závěsu a bez odporu vzduchu.
Lagrangeova funkce
L(φ,
dφ( t)
dt
) = 2 1 J (
dφ( t)
dt
) 2 – mg l (1 – cos φ(t)).
Podle Hamiltonova principu funkce φ(t) je
stacionárním bodem funkcionálu (akce)
t
1
S[φ] = ∫
t
0
dφ
dt
L(
φ,
) dt .
Jak už víme z odstavce 3.6, nutnou podmínkou pro stacionarizaci S při dostatečné
diferencovatelnosti integrandu L je, aby hledaná funkce φ(t) splňovala příslušnou
Eulerovu-Lagrangeovu rovnici
∂
∂φ
Po dosazení za L dostaneme
dφ
d ⎛ ∂ dφ
⎞
L ( φ,
) − ⎜ L(
φ,
) ⎟ = 0 .
dt
dt
d
⎝ ∂φ
t
⎠
d φ
= – mgl sin φ – J
dt
dt
2 = 0,
dt
tj. známou diferenciální rovnici
2
d φ mgl
2 + sin φ = 0.
dt J
Definujeme-li redukovanou délku kyvadla rovností
l * J
= , ml
dostaneme rovnici odpovídajícího matematického kyvadla délky l*:
2
d φ g
2 + sin φ = 0.
dt
l
*
Pro matematické kyvadlo délky l je hmota soustředěna do bodu na konci závěsu,
d dφ
–mgl sin φ – ( J )
takže moment setrvačnosti J = ml 2 . Pak l * =
ml 2 = l.
ml
2
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER