Leonhard EULER

5
1. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM
Ze slov logos = proporce a arithmos = číslo Neper sestavil název logaritmus. Vlastní
metodou Neper vypočítal tabulku logaritmů, která odpovídala základu ≈ e –1 , ale pojem
základu ještě neznal. S ideou logaritmů seznámil svého přítele Henryho Briggse a oba
se dohodli na základě a = 10. Briggs 1617 publikoval tabulku 8místných dekadických
logaritmů celých čísel od 1 do 1000. Po Neperově smrti (1617) Briggs vypracoval
obšírné tabulky dekadických logaritmů, které 1624 publikoval v knize Arithmetica
logarithmica.
Přirozené logaritmy ln se objevily v souvislosti s exponenciální funkcí e x , kde e =
2.71828 18284 59045… První tabulku ln x vypracoval John Speidell 1619. Funkce e x
má tu skvělou vlastnost, že je invariantem derivování, e x = (e x )´ = (e x )´´ = (e x )´´´ …
(užíváme Lagrangeova označení ´ místo d/dx, ´´ místo d 2 /dx 2 , ...), a integrace.
Exponenciální funkce a logaritmus jsou vzájemně inverzní funkce a na výpočet log a u
lze nahlížet jako na úlohu najít řešení rovnice f(x) = a x – u = 0 . To vzhledem
k monotonii a spojitosti mocninné funkce není při použití počítače obtížné.
Aby se při ručním počítání daly operace s logaritmy provádět efektivně, musely být
pro zvolený základ a při dosti bohaté posloupnosti {u i } vypracovány tabulky exponentů.
Dříve zmíněná Fibonacciova posloupnost ukazuje, že už vhodný zápis sám o sobě může
inspirovat. Může např. stačit k tomu, aby se začalo uvažovat o nekonečných procesech.
Příkladem může být vytváření nekonečných posloupností, součtu a součinu jejich
členů (řad a nekonečných součinů), nebo tvorba výrazů
1
(1) c + c + c + ... , (2)
atd.
1
c +
1
c +
c + ...
S těmito objekty se zacházelo občas nekorektně. Světlo přinesla teprve definice
limity vyslovená v 19. století B. Bolzanem (1781-1848) a A. L. Cauchym (1789-1857)
[14]. Takže dnes můžeme uvažovat např. takto:
(1) Je-li c > 0 a existuje-li konečné C = c + c + c + ... , je také C = c + C . Pak C 2 = C + c a
tato kvadratická rovnice má kořeny C 1,2 =
2
1 ±
(2) Je-li c ≠ 0 a existuje-li konečné C =
2
1
+ c
4
1
1
c +
1
c +
c + ...
. Kladný kořen je C 1 =
1 +
1
+ c .
2 4
1
, je C = , takže C 2 + cC – 1 = 0. Příslušný
c + C
c
kořen je C 1 = – + sign(c) c
+ 1 . Např. pro c = –8 dostaneme C 1 = 4 – 17 = 0.1231056...
2 4
Jak vlastně počítali Neper, Briggs, Speidell logaritmy, jsem nevypátral. Dnes je to
ale pro matematiku pouhá historie. Je téměř jisté, že používali nějaké řady.
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER