Leonhard EULER

More documents

Recommendations

Info

24 2. LEONHARD EULER – ŽIVOTNÍ DRÁHA páté odpoledne mu praskla céva v mozku. Než ztratil vědomí, stačil jen povzdechnout: “umírám“. Večer kolem 11. hodiny skonal. Po Eulerově smrti Petrohradská akademie začala vydávat Eulerovy nepublikované písemnosti a pokračovala v tom dalších 50 let. Eulerovo matematické dílo je tak obrovské, že se nedá v obvyklém rozpětí článku popsat. Euler byl asi nejplodnějším matematikem všech dob. Napsal kolem 880 článků, desítky knih, tisíce vědeckých sdělení ve formě dopisů. Posunul hranice analytické geometrie a trigonometrie, kde jako první uvažoval o sinu, kosinu atd. jako o funkcích, ne jako o sečnách jako Ptolemaios. Zásadním a novým způsobem přeformuloval geometrii, infinitesimální počet a teorii čísel. Sloučil Leibnizův diferenciální počet a Newtonovu metodu fluxí do matematické analýzy. Zavedl beta a gama funkce a integrující faktor u diferenciálních rovnic. Spolu s Clairautem se zabýval teorií Měsíce, studoval mechaniku kontinua, problém tří těles, teorii elasticity, akustiku, vlnovou teorii L. Euler světla, hydrauliku, hudbu. Položil základy analytické mechaniky, speciálně v knize Teorie pohybu tuhých těles (1765). Eulerovi vděčíme za označení funkce ve tvaru f(x) (1734), zavedení symbolu e pro základ přirozeného logaritmu (1727), i = −1 pro imaginární jednotku (1777), π pro podíl obvodu a průměru kruhu, za značení konečných diferencí ∆y, ∆ 2 y, …, Σ pro sčítání atd. Eulerovo souhrnné dílo představuje asi 70 svazků (v angličtině). Všichni vědci, např. takoví velikáni jako P. S. Laplace nebo C. F. Gauss, si Eulera velmi vážili a jeho dílo bylo inspirací pro celé generace matematiků. To jen ukazuje, jak obrovský byl Eulerův vliv. F. KOUTNÝ: Leonhard EULER
25 3. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE 3. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE 3.1. TEORIE ČÍSEL ■ Vyvrácení Fermatovy hypotézy o prvočíselnosti 2 2 k + 1 (1732) Fermat vyslovil domněnku, že všechna čísla tvaru F k = 2 2 + 1, k = 0, 1, 2, … jsou prvočísla. Když Goldbach s touto hypotézou seznámil Eulera, ten ji prověřil pro k = 0, 1, 2, 3, 4. Ale už F 5 = 2 32 + 1 = 4 294 967 297 = 641×6 700 417. To je Eulerův výsledek z roku 1732 (25 let), který Fermatovu domněnku vyvrátil [16,46]. Euler také dokázal, že každý dělitel složeného Fermatova čísla má tvar n×2 m + 1 [47]. Např. u k = 5 máme dělitele 641 = 5×2 9 + 1 a 6 700 417 = 52 347×2 7 + 1. Poznámka. Zřejmě jsem [47] dobře nepochopil, protože rozklad na prvočinitele tvaru n×2 m k + 1 je triviální. Složené Fermatovo číslo je liché, musí tedy být součinem lichých čísel, z nichž každé dá po odečtení 1 číslo dělitelné 2. Dosud dokonce žádné větší Fermatovo prvočíslo než 2 16 + 1 = 65 537 neznáme, ale je nutno zároveň říci, že v ověřování dělitelnosti F k se nepodařilo dojít ani ke k = 12 [16,46]. Dnes je rozklad 2 32 + 1 na počítači nebo i na kalkulačce snadný úkol, který jasně ukazuje, jak se zmenšila mezera mezi dřívější vrcholnou vědou a dnešní běžnou rutinou. Obecně to však ani zdaleka neplatí. ■ Modulární aritmetika, kvadratická reciprocita. Se zbytkovými třídami se pochopitelně dají provádět běžné aritmetické operace, řešit rovnice apod. Např. je-li x ≡ 2 (mod 7) a y ≡ 3 (mod 7), je x + y ≡ 5 (mod 7), neboť pak x = 2 + m×7, y = 3 + n×7 a x + y = 5 + (m + n) × 7. Pro Obr. 3.1 – Modulární hodiny. x ≡ 6 (mod 7) a y ≡ 5 (mod 7), je x + y ≡ 11 (mod 7) ≡ 4 (mod 7), jako bychom obcházeli kruh s vyznačenými 7 pozicemi (obr. 3.1). Je přirozené např. se ptát: jaké x splňuje rovnici 2x + 5 ≡ 3 (mod 7) ? Jde tedy o celočíselné řešení rovnice 2x ≡ (3 – 5) (mod 7), tj. x ≡ –1 (mod 7) ≡ 6 (mod 7). Na obr. 3.1 se dá snadno ověřit, že vyjdeme-li z bodu 0 a uděláme 2×6 = 12 kroků ve směru hodinových ručiček, dostaneme se do bodu 5. Přidáme-li dalších 5 kroků, dostaneme se skutečně do bodu 3. V tomto duchu lze pokračovat a definovat kongruenci řádu n s polynomem P stupně n a koeficientem u x n nesoudělným s modulem p, P(x) = a n x n + a n–1 x n–1 + … + a 1 x + a 0 ≡ 0 (mod p). Důležitá je kvadratická kongruence zavedená rovnicí x 2 ≡ m (mod p), kde m je celé a p je prvočíslo. Zřejmě x = ± m + np , n = 0, 1, 2, … F. KOUTNÝ: Leonhard EULER
Page 1 and 2: Leonhard EULER F. KOUTNÝ, Zlín (1
Page 3 and 4: 1 1. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULE
Page 13 and 14: 11 1. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EUL
Page 21 and 22: 19 2. LEONHARD EULER - ŽIVOTNÍ DR
Page 23 and 24: 21 2. LEONHARD EULER - ŽIVOTNÍ DR
Page 25: 23 2. LEONHARD EULER - ŽIVOTNÍ DR
Page 29 and 30: 27 3. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE
Page 65 and 66: 63 4. EULEROVY STOPY VE FYZICE 4. E
Page 67 and 68: 65 4. EULEROVY STOPY VE FYZICE vlá
Page 69 and 70: 67 4. EULEROVY STOPY VE FYZICE Hist
Page 71 and 72: 69 4. EULEROVY STOPY VE FYZICE Př
Page 73 and 74: 71 4. EULEROVY STOPY VE FYZICE x =
Page 75 and 76: 73 4. EULEROVY STOPY VE FYZICE výs
Page 77 and 78:
75 4. EULEROVY STOPY VE FYZICE 2 (
Page 79 and 80:
77 5. DOSLOV 5. DOSLOV Každý, kdo
Page 81 and 82:
79 6. ODKAZY 6. ODKAZY 1. http://ww
Page 83 and 84:
81 6. ODKAZY 63. http://en.wikipedi
show all

Leonhard EULER

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?