Leonhard EULER

43
3. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE
Každé přirozené číslo n lze jednoznačně rozložit na prvočinitele,
n =
m
p ...p
m
k
1 k
1
,
kde k ≥ 1, p 1 < … < p k jsou prvočísla a m 1 , …, m k ≥ 1 (to je tzv. základní věta
aritmetiky, kterou explicitně vyslovil, dokázal a 1801 publikoval C. F. Gauss [16]).
3
Např. všechny násobky čísel 2, 3, 5 mají tvar 2
1 × 3
2
× 5 a dostaneme je
násobením posloupností
{1, 2, 2 2 , 2 3 ,…} × {1, 3, 3 2 , 3 3 ,…} × {1, 5, 5 2 , 5 3 ,…} = {1, 2, 3, 2 2 , 5, 2×3, 2 3 , 3 2 , 2×5, …}.
Dostali jsme všechna čísla < 7 a 7 je první prvočíslo > 5. Přibereme-li 7 do součinu
2
m
m
m
m
1 × 3
2
× 5
3
× 7 4
dostaneme se k 11. Totéž platí pro každé další prvočíslo.
Eulerovi napadlo využít rozvoje
1
1−
1
p
= 1 +
1
p
+ (
1
) 2
p
pro prvočíslo p k vytvoření harmonické řady. Např.
(1 + 2 –1 + 2 –2 ) × (1 + 3 –1 ) × (1 + 5 –1 )
atd.
Harmonická řada vznikne násobením faktorů
Kdyby K < ∞, byl by součin
konečný. Protože však ∑ ∞
n=1
1
n
m
m
+ … = 1 + p –1 + p –2 + …,
= [1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+ 1 6
] + [ 1 10
+ 1 12
+ 1 15
+ 1 20
+ 1 30
+ 1 60
]
K
P K = ∏
k=
1
1
1−
Z divergence P K → +∞ plyne rovnost
1
p k
=
1
1−
1
p k
m
, kde p k je prvočíslo, k = 1, 2, …
K
∏ ( 1−
1
)
k=
1
= +∞, musí být i počet prvočísel K = +∞.
1
p k
lim
K
∏ ( ) −
1
K→∞
p k
k=
1
∏ ∞
k=
1
1 = 0, tedy ( 1−
1
)
p k
= 0.
Z vlastností nekonečných součinů dále plyne, že řada kladných čísel ∑ ∞
k=1
1
p k
nemůže
1
konvergovat a je tedy ∑ ∞ = +∞. To je další významný Eulerův poznatek. Tedy přes
p k
k=1
značné rozředění počtu sčítanců (pro velká n je počet N(n) prvočísel menších než
přirozené číslo n přibližně
n
[16]) dostaneme zase divergentní řadu.
ln n
n
Poznámka. Posloupnost částečných součtů P n =
1
∑ p k
k=
1
P n – ln(ln n)) → 0.26…
(víc je v [78]).
roste stejně rychle jako ln(ln n),
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER