Leonhard EULER

73
4. EULEROVY STOPY VE FYZICE
výsledný moment
M =
F = m
2
x(t),
2
d
dt
d B = w×B +
dt
d B
dt (V) ,
kde B (V) značí moment hybnosti v referenční soustavě tělesa vyplňujícího množinu V.
Rozepsáním poslední rovnice podle složek vektorů se dostane soustava Eulerových
rovnic pro rotaci tuhého tělesa [29,30,32]. Pro hmotný střed nehybný ve vnější
referenční soustavě pak vektorová rovnice
reprezentuje soustavu rovnic pro složky
J 11
J 22
J 33
d B + w×B = M
dt
d
dt
ω 1 + ω 2 ω 3 (J 33 – J 22 ) = M 11 ,
d
dt
ω 2 + ω 1 ω 3 (J 11 – J 33 ) = M 22 ,
d
dt
ω 3 + ω 1 ω 2 (J 22 – J 11 ) = M 33 ,
Řešení této soustavy Eulerových rovnic je obtížné a tradičně se uvádí jen u
nejjednodušších případů, jako jsou setrvačníky, kola atd. Např. pro pneumatiku na ráfku
(volně otočné automobilové kolo) dostáváme pro osu rotace x 1 rovnici
v
J 11
dt d aT − + 0 × 0 × (J 33 – J 22 ) = M 11 = R res (a T – u) + R pasiv .
u
Tyto vztahy tvoří základ metodik pro měření valivého odporu R res pneumatik [102].
Dále se obsáhlou kapitolou dynamiky tuhého tělesa, teorie setrvačníků atd. zabývat
nechci, protože jsem už mnoho zapomněl a čtenář určitě najde lepší výklad v citovaných
učebnicích nebo dalších a modernějších knihách o mechanice. Populárnější ale zároveň
neúplný výklad je v [110,111]. Nám však jde především o připomenutí Eulerovy práce,
ne o perfektní fyzikální pojednání.
4.6. EULEROVA HYDRODYNAMICKÁ ROVNICE
V ideální tekutině nepůsobí žádná smyková napětí. Pascalův zákon říká, že v tekutině je
lokální tlak p(x) ve všech směrech stejný. Z vlastní zkušenosti však každý ví, že tlak
vody v nádrži nebo v moři je úměrný hloubce, tedy výšce vodního sloupce nad
sledovaným místem,
p(0, 0, z) = ρ g (0 – z) = –ρ g z.
Hustota vnitřních sil (síla působící na jednotku objemu) v gravitačním poli se
zrychlením g je
F = – p = –
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
( −ρgz)
⎞
⎟
( −ρgz)
⎟ = –
⎟
( −ρgz)
⎠
⎛ 0 ⎞ ⎛0 ⎞
⎜ 0 ⎟ = ρ g ⎜0⎟
.
⎝− ρg
⎠ ⎝1⎠
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER