Leonhard EULER

39
3. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE
Chování řady ∑ ∞
k=1
n
členů S n = ∑
k=
1
|a k | je určeno chováním zbytku R n = ∑ ∞ |a k | (součet předchozích
k= n+
1
a k je konečný a o něj se zajímat nemusíme). V našem jednoduchém
případě k odhadu zbytku můžeme použít minorantní hyperbolu.
Pro libovolná celá kladná n, m, n < m je
m
∫
n
d
= ln
m
n
= ln (
n + 1 n+
2
...
m−1
m
) = ln ( 1+
1
) + ln ( 1+ 1
n
) + … + ln ( 1
1
)
x x
m
< ∑ −
k=
1
n
k
m
n
1
= ∑
k=
n+
1
m
Nerovnost ln n m < ∑
n+
1
1
.
k−1
k=
n+
1
1
k−1
m−2
m−1
n
+ 1
+ m− 1
= S m–1 – S n–1 ukazuje, že pro libovolné n je např.
|S 2n–1 – S n–1 | = S 2n–1 – S n–1 > ln 2 a není splněna Bolzanova–Cauchyho nutná a
postačující podmínka konvergence posloupnosti částečných součtů S n a tím i
harmonické řady ∑ ∞
k=1
1 . Chování této řady ilustruje následující tabulka a obr. 3.9.
k
n 10 3 10 6 10 9 10 12
S n 7.48547086 14.39272672 21.30048150 28.20823678
30
25
20
S n
15
10
5
0
0 3 6 9 12
log n
Obr. 3.9 – Částečné součty harmonické řady rostou téměř lineárně s dekadickým logaritmem n.
Aproximace součtů harmonické řady lineární závislostí na logaritmu horní meze
znovu potvrzuje divergenci harmonické řady. Stejné závěry budou platit i pro řadu
ζ(s) = ∑ ∞
k=1
1 s
,
k
kde s < 1, neboť
1
> 1 s
k k
. Naopak pro k > 1 a x ∈ [k, k + 1] je (obr. 3.10)
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER