Leonhard EULER

60
3. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE
Druhý sčítanec na pravé straně integrujeme per partes
x
1
∫ f y′
( x,
y,
y′
) u´
( x)
dx
= f y´(x, y, y´) u(x)
x
0
x
x
1
0
x1
d
– ∫ f ′ , , ′
x
y ( x y y ) u(
x)
0 dx
V důsledku podmínek u(x 0 ) = u(x 1 ) = 0 je první člen na pravé straně 0. Tedy
x
F´(0) = ∫
x
1
0
⎡
⎢
⎣
f
y
d ⎤
( x,
y,
y′ ) − f y′
( x,
y,
y′
) ⎥ u dx
= 0 .
dx
⎦
Z volnosti volby u a ze základního lemmatu variačního počtu plyne, že výraz v
hranaté závorce je roven 0. Pro stacionární bod funkcionálu J tedy platí
∂
∂y
d ⎛ ∂ ⎞
f ( x,
y,
y′ ) − ⎜ f ( x,
y,
y′
) ⎟ = 0 .
dx
⎝ ∂y′
⎠
Toto je Eulerova-Lagrangeova rovnice (Euler ji publikoval v roce 1744) a stala se
základem odvětví, které Euler 1766 označil jako variační počet. Odvození základní
rovnice zpřesnil a od geometrického nánosu očistil Joseph Louis Lagrange (1736–
1813), který rovněž významně přispěl k rozvoji matematiky a jejích aplikací obzvlášť v
mechanice [101].
dx
.
Matematické kyvadlo (obr. 3.20). Hmotný bod zavěšený na neprodlužitelném vlákně
v gravitačním poli se zrychlením g vychýlíme do
Obr. 3.20 – Matematické kyvadlo.
klidové polohy dané úhlem φ m a pustíme jej. Rozdíl
původní potenciální energie mg(1 – cos φ m ) a nové
potenciální energie v okamžiku t odpovídajícímu
úhlu φ(t), tj. mgl(1 – cos φ) – mgl(1 – cos φ m ) =
mgl(cos φ m – cos φ) se přemění v kinetickou energii
1 m(l φ & ) 2 (tečka značí derivaci podle času) tak, že
2
v průběhu pohybu se minimalizuje integrál rozdílu
kinetické energie a změny potenciální energie
t
∫
0
[ 2 1 m(l φ & ) 2 – mgl(cos φ m – cos φ)] dt
t
= ml ∫
0
[ 2 1 l φ & 2 + g cos φ – g cos φ m ] dt .
Integrand na pravé straně označme f (φ, φ & ). Příslušná Eulerova-Lagrangeova rovnice je
∂
∂φ
d ⎛ ∂ ⎞
f ( φ , φ&
) −
⎜ f ( φ,
φ&
)
⎟
dt
⎝ ∂φ&
⎠
& φ g
+ sin φ = 0 . l
d
= – g sin φ – (l φ & ) = 0, tj.
dt
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER