Leonhard EULER

45
3. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE
∂
∂a
∞
∂ I(a, b) = ∫ ( bx
e − sin
xax
0 ∂a
(integrace per partes nebo [80-82]).
∞
) dx = ∫
0
−bx
e cos ax dx =
a
2
b
+ b
2
Proto
∞
Integrál I(a) = ∫
0
∫
∂ I(a, b) da =
b
a
∂a ∫ da = arctan .
2 2
a + b
b
sin
xax dx dostaneme z I(a, b) limitním přechodem b→0+,
I(a) =
lim
b→0+
I(a, b) =
lim
b→0+
arctan b
a .
Pro a > 0 je I(a) konstanta nezávislá na a. Speciálně tedy pro a = 1 je
∞
I(1) = ∫
0
sin x
x dx =
π .
2
Integrál I(1) poprvé korektně vypočetl N. I. Lobačevskij (1792–1856) [80].
3.3.4. FUNKCE BETA A GAMMA.
Pod Eulerovými integrály se obvykle rozumí jiné, důležitější integrály — funkce Γ a Β:
∞
Γ(s) = ∫
0
1
Β(p, q) = ∫
0
e –t t s–1 dt, s > 0
t p–1 (1 – t) q–1 dt, p, q > 0
— Eulerův integrál 2. druhu, gamma funkce
— Eulerův integrál 1. druhu, beta funkce
Tyto funkce mají mnoho zajímavých vlastností, proto v učebnicích zpravidla
zabírají celou kapitolu. Zde pochopitelně můžeme odkázat jen na literaturu [80,81] nebo
internet a ukázat jen několik vlastností.
Funkce G.
Funkce Γ je důležitější, proto ji uvádíme jako první. Integrací per partes dostaneme
∞
Γ(s) = ∫
0
∞
Zřejmě Γ(1) = ∫
0
e –t t s–1 dt = – e –t t s–1
∞
∞
0 + (s – 1) ∫
0
e –t t s–2 dt = (s – 1) Γ(s – 1).
e –t dt = 1, Γ(2) = (2 – 1) Γ(1) = 1, Γ(3) = (3 – 1) Γ(2) = 2×1 = 2!
a pro přirozené n je tedy Γ(n) = (n – 1)!, resp. n! = Γ(n+1). Funkce Γ tedy představuje
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER