Leonhard EULER

70
4. EULEROVY STOPY VE FYZICE
4.5. MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA
Tuhé těleso je idealizovaná aproximace reálných těles. Je to nedeformovatelný objekt s
neměnnou, tuhou geometrií, tj. vzdálenost libovolných jeho dvou bodů se při pohybu
nemění. Další idealizací je pojem hustoty, který se v kartézských souřadnicích obvykle
definuje jako limita podílu hmoty obsažené v elementu objemu,
ρ(x, y, z) =
∆m(
x,
y,
z)
.
lim
∆V ( x,
y,
z)
→0+
∆V
( x,
y,
z)
Když však rozměry objemového elementu klesnou do subatomární velikosti, hmota se
stane velmi řídkou sestavou částic rychle se měnící v čase. Takže v pevném časovém
okamžiku a v závislosti na souřadnicích x, y, z je podíl na pravé straně hned obrovský
a hned nulový, čili v matematickém smyslu tato limita neexistuje. Takže hustotu je třeba
brát konvenčně v makroskopickém smyslu, např. pro ∆V = 10 –20 m 3 .
Nejhorší je, že o stavbě reálného světa víme žalostně málo a mnohokrát se ukázalo,
že přenos idejí z viditelného světa do mikrosvěta nebo makrokosmu vedl k omylům.
Tuhé těleso se považuje za pevný geometrický útvar, objekt V ve 3D nebo
matematicky za množinu V ⊂ R 3 kladné míry. Vyplnění V hmotou reprezentuje spojitá
nebo po částech spojitá funkce ρ, která každému bodu x∈V přiřazuje číslo ρ(x) ≥ 0.
Náš prostor běžně chápeme jako euklidovský metrický prostor R 3 [14] s metrikou
d(x, y) =
2
2
2
1 y1)
+ ( x2
− y2
) + ( x3
− 3)
( x − y .
O množině V předpokládáme, že je souvislá a omezená v R 3 a že každá konečná
část V je trojrozměrná, tj. existuje d m > 0 takové, že pro každý bod x∈V má množina
kladný objem ∫ dy
dy
( x,
)
K 1 2dy3
d m
K(x, d m ) = {y ∈V: d(x, y) < d m }
> 0. Názorně: těleso V má všude kladnou tloušťku
(nikde se neredukuje na plochu, čáru, bod) a má konečnou velikost,
0 < max{d(x, y): x, y ∈V} = d max < +∞ .
To je malá ilustrace problémů, které nastávají při přenosu matematických pojmů do
reálného světa.
S tuhým tělesem se manipuluje jako s množinou bodů x ∈ V. Např. působí-li na
jednotlivý bod x ∈ V síla f(x), působí na celé těleso výslednice F = ∫ V
f ( x)
dx1dx2dx3
.
V gravitačním poli se zrychlením g působí na tuhou soustavu hmotných bodů
{x 1 , …, x n } s hmotnostmi {m 1 , …, m n } výsledná síla
F = g (m 1 + … + m n ).
Hmotným středem této soustavy čili působištěm výslednice bude bod x = (x, y),
v němž se anuluje rozdíl
tedy
n
∑
k=
1
f k – F ∑
n
m k
k=
1
n
= ∑
k=
1
n
g x k m k – g x ∑
k=
1
m k ,
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER