You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
40<br />
3. <strong>EULER</strong>OVY MATEMATICKÉ PRÁCE<br />
1<br />
≤<br />
1<br />
x k<br />
≤<br />
1<br />
x−1<br />
.<br />
0.12<br />
0.11<br />
1/x , 1/k , 1/(x -1)<br />
0.1<br />
0.09<br />
0.08<br />
1/x<br />
1/(x-1)<br />
1/k<br />
0.07<br />
0.06<br />
10 11 12 13 14<br />
k , x<br />
Obr. 3.10 – Posloupnost {1/k} jako schodovitá funkce mezi hyperbolami 1/x a 1/(x–1).<br />
∞<br />
∫<br />
n<br />
Pro s > 1 ( ) s<br />
x<br />
x –s dx =<br />
Protože<br />
1<br />
−1<br />
1<br />
= x –s <<br />
s<br />
k<br />
1<br />
< ( ) s<br />
1 x 1–s ∞<br />
1−s =<br />
1 1<br />
s−<br />
1 s−1<br />
n n<br />
1<br />
n<br />
s s−1<br />
konvergence ∑ ∞<br />
k n+<br />
= 1<br />
i<br />
1<br />
−1<br />
1<br />
s 1<br />
( n−1)<br />
s−<br />
1<br />
x−1<br />
≤ ∑ ∞<br />
k n+<br />
, takže<br />
= 1<br />
1<br />
≤ ∫<br />
s<br />
k<br />
∞<br />
n<br />
x –s dx =<br />
1 (x – 1) 1–s 1−s<br />
n<br />
∞<br />
=<br />
1<br />
− 1<br />
1<br />
s 1<br />
( n−1)<br />
s−<br />
konvergují pro n→∞ k 0, plyne odtud pro s > 1<br />
1 . Několik numerických příkladů předvádí obr. 3.11.<br />
s<br />
k<br />
.<br />
12<br />
10<br />
s =1.1<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
s =1.2<br />
s =1.3<br />
s =1.5<br />
s =2<br />
S n<br />
0<br />
Obr. 3.11 – Rychlost konvergence částečných součtů pro různé exponenty s.<br />
0 3 6 9 12<br />
log n<br />
F. KOUTNÝ: <strong>Leonhard</strong> <strong>EULER</strong>
Change language