Leonhard EULER

64
4. EULEROVY STOPY VE FYZICE
4.2. OHYB NOSNÍKU
Každému, kdo má aspoň základní zkušenosti s reálnými materiály, je jasné, že teorie
lineární elasticity je především idealizace. Z idealizovaných předpokladů plynou jako
matematické důsledky užitečné odhady. Ty však s množstvím různých speciálních
případů a praktických korekcí dělají nauku o pružnosti postrachem studentů.
Jedním ze základních aplikačních problémů je ohyb nosníků. Důkladná teorie je
vyložena v knize [31]. Jádro problému znázorňuje obr. 4.2, na němž je schéma ohybu
horizontálního vetknutého nosníku s konstantním průřezem v příčném směru.
Obr. 4.2 – Schéma zatížení nosníku. Dole je znázornění deformace pomocí poloměrů křivosti.
Zatížení vertikální silou F vyvolává moment M (= r×F, kde r je polohový vektor
působiště síly F v referenční soustavě s počátkem 0 a × značí vektorový součin), který
je v rovnováze s momentem napětí na ploše průřezu A. Budeme předpokládat, že
(i)
(ii)
(iii)
existuje neutrální plocha či vlákno, na němž je napětí σ ve směru osy
nosníku nulové,
všechny složky napětí kromě těch, které působí podél neutrální osy nosníku,
jsou zanedbatelné,
příčný rovinný řez před deformací zůstává rovinným i po deformaci (Daniel
Bernoulli),
(iv) platí Hookův zákon σ = Eε, kde E je Youngův modul pružnosti materiálu
nosníku (Robert Hooke, 1635–1703 [103], Thomas Young, 1773–1829 [104]).
Dolní část obr. 4.2 ukazuje, že deformace je dána polohou bodu vzhledem k neutrální
ploše. Zvolíme-li bod na neutrálním vláknu jakožto rovinné křivce, přísluší mu poloměr
křivosti R n a střed křivosti C n . Je-li R vzdálenost bodu nosníku v rovině neutrálního
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER