Leonhard EULER

25
3. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE
3. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE
3.1. TEORIE ČÍSEL
■ Vyvrácení Fermatovy hypotézy o prvočíselnosti 2 2 k
+ 1
(1732)
Fermat vyslovil domněnku, že všechna čísla tvaru F k = 2 2 + 1, k = 0, 1, 2, … jsou
prvočísla. Když Goldbach s touto hypotézou seznámil Eulera, ten ji prověřil pro k = 0,
1, 2, 3, 4. Ale už F 5 = 2 32 + 1 = 4 294 967 297 = 641×6 700 417. To je Eulerův výsledek
z roku 1732 (25 let), který Fermatovu domněnku vyvrátil [16,46]. Euler také dokázal, že
každý dělitel složeného Fermatova čísla má tvar n×2 m + 1 [47]. Např. u k = 5 máme
dělitele 641 = 5×2 9 + 1 a 6 700 417 = 52 347×2 7 + 1.
Poznámka. Zřejmě jsem [47] dobře nepochopil, protože rozklad na prvočinitele tvaru n×2 m
k
+ 1 je
triviální. Složené Fermatovo číslo je liché, musí tedy být součinem lichých čísel, z nichž každé dá po
odečtení 1 číslo dělitelné 2.
Dosud dokonce žádné větší Fermatovo prvočíslo než 2 16 + 1 = 65 537 neznáme, ale
je nutno zároveň říci, že v ověřování dělitelnosti F k se nepodařilo dojít ani ke k = 12
[16,46].
Dnes je rozklad 2 32 + 1 na počítači nebo i na kalkulačce snadný úkol, který jasně
ukazuje, jak se zmenšila mezera mezi dřívější vrcholnou vědou a dnešní běžnou rutinou.
Obecně to však ani zdaleka neplatí.
■ Modulární aritmetika, kvadratická reciprocita.
Se zbytkovými třídami se pochopitelně dají provádět běžné aritmetické operace, řešit
rovnice apod. Např. je-li x ≡ 2 (mod 7) a y ≡ 3 (mod 7), je x + y ≡ 5 (mod 7), neboť pak
x = 2 + m×7, y = 3 + n×7 a x + y = 5 + (m + n) × 7. Pro
Obr. 3.1 – Modulární hodiny.
x ≡ 6 (mod 7) a y ≡ 5 (mod 7), je x + y ≡ 11 (mod 7) ≡ 4
(mod 7), jako bychom obcházeli kruh s vyznačenými 7
pozicemi (obr. 3.1).
Je přirozené např. se ptát: jaké x splňuje rovnici
2x + 5 ≡ 3 (mod 7) ?
Jde tedy o celočíselné řešení rovnice 2x ≡ (3 – 5) (mod 7),
tj. x ≡ –1 (mod 7) ≡ 6 (mod 7). Na obr. 3.1 se dá snadno ověřit, že vyjdeme-li z bodu 0 a
uděláme 2×6 = 12 kroků ve směru hodinových ručiček, dostaneme se do bodu 5.
Přidáme-li dalších 5 kroků, dostaneme se skutečně do bodu 3.
V tomto duchu lze pokračovat a definovat kongruenci řádu n s polynomem P stupně
n a koeficientem u x n nesoudělným s modulem p,
P(x) = a n x n + a n–1 x n–1 + … + a 1 x + a 0 ≡ 0 (mod p).
Důležitá je kvadratická kongruence zavedená rovnicí x 2 ≡ m (mod p), kde m je celé
a p je prvočíslo. Zřejmě x = ± m + np
, n = 0, 1, 2, …
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER