Leonhard EULER

29
3. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE
Obr. 3.4 – Eulerova přímka trojúhelníka.
O --- střed opsané kružnice,
V --- střed vepsané kružnice,
K --- průsečík kolmic z vrcholů.
Poznámka. O trojúhelnících existuje spousta vět. Např. mladý Napoleon Bonaparte ve vězení objevil, že
těžiště rovnostranných trojúhelníků nad stranami libovolného trojúhelníka tvoří rovnostranný trojúhelník
(tzv. srdce trojúhelníka; viz http://www.jimloy.com/geometry/napoleon.htm ).
Topologické invarianty mnohostěnů
Množina M, na níž jsou definovány lineární operace, tj. součet prvků a násobení
skalárem (číslem) je konvexní, jestliže pro libovolné její dva prvky leží celá spojnice
těchto prvků v M. Podrobněji: x, y ∈ M, t∈[0, 1] ⇒ t x + (1–t) y ∈ M.
Eulerova věta o konvexních mnohostěnech: počet stěn s plus počet vrcholů v mínus
počet hran h se rovná 2,
s + v – h = 2.
U pravidelných (platónských) těles:
těleso stěny s vrcholy v hrany h s + v – h
čtyřstěn (tetraedr) 4 4 6 2
osmistěn (oktaedr, dvojitý 4-boký jehlan) 8 6 12 2
krychle (hexaedr) 6 8 12 2
dvanáctistěn pětiúhelníkový (dodekaedr) 12 20 30 2
dvacetistěn trojúhelníkový (ikosaedr) 20 12 30 2
Několik dalších konvexních těles (∪ značí sjednocení):
těleso stěny s vrcholy v hrany h s + v – h
n-boký jehlan (nJ) n+1 n+1 2n 2
n-boký hranol (nH) n+2 2n 3n 2
dvojitý n-boký jehlan (nJ + )∪(nJ – ) (obr. 3.5a) 2n n+2 3n 2
kombinace (nJ + )∪(nH) ∪(nJ – ) (obr. 3.5b) 3n 2n+2 5n 2
U nekonvexních těles rovnost s + v – h = 2 platit nemusí. Například u tělesa
složeného ze dvou čtyřstěnů s jediným společným bodem, vrcholem (obr. 3.6) je zřejmě
s = 2×4 = 8, v = 2×4 – 1 = 7, h = 2×6 = 12, tedy s + v – h = 3.
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER