Leonhard EULER

74
4. EULEROVY STOPY VE FYZICE
Stav proudící tekutiny v bodě r a čase t je určen 3 složkami rychlosti v(r, t), tlakem
p(r, t) a hustotou ρ (u stačitelných tekutin ρ(x, t) ). Zrychlení částice tekutiny
d ∂ ∂ d x ∂ d y ∂
a(r, t) = v(r, t) = v(r, t) + v(r, t) + v(r, t) + v(r, t)
dt ∂t
∂x
dt
∂y
dt
∂z
∂
= v(r, t) + v(r, t) ( .v(r, t)).
∂t
Pohybová rovnice
ρ a = F – p
přejde po dosazení za zrychlení do Eulerovy rovnice hydrodynamiky
∂
ρ v(r, t) + ρ v(r, t) ( .v(r, t)) = – p + F .
∂t
∂
Při stacionárním proudění závislost na čase zmizí, v(r, t) = 0, takže
∂t
ρ v ( .v) = ρ ( 2 1 v.v) = – p + F .
U potenciálové síly F = – ρ U s potenciálem U a při konstantní hustotě (nestlačitelná
tekutina) ρ je pak
tj. platí známá Bernoulliho rovnice
(ρ 2 1 v.v + p + ρU) = 0 ,
1 ρv 2 + p + ρU = const.
2
dz
dt
4.7. VLNY NA VODĚ. TSUNAMI
Chování ideální nestlačitelné tekutiny je popsáno Eulerovými rovnicemi, rovnicí
kontinuity, okrajovými a počátečními podmínkami. Předpokládejme, že pohyb vznikl
rázem – náhlým posunem dna při zemětřesení. Na vodu působí tíže a ta vyvolá kmitavý
pohyb jejích částic, vlnu. Podle poměru délky vlny ku hloubce se rozlišují vlny na
hluboké vodě a na mělké vodě [31].
U vln na vodě je zřejmá závislost na času. V tomto případě má Bernoulliho rovnice
integrál (Cauchyho integrál) [31]
∂ϕ
+ 1
∂t 2
v 2 p
+ + U = f(t),
ρ
kde ϕ je potenciál rychlosti, v =
ϕ a f je nějaká funkce času.
U tíhových vln je člen 2 1 v 2 zanedbatelně malý a ϕ můžeme u vln šířících se ve
směru x předpokládat ve tvaru
ϕ(x, z, t) = f(z) e i(kx–ωt)
kde k = 2π/λ je vlnové číslo (úměrné frekvenci) pro délku vlny λ a ω úhlová frekvence.
Funkce ϕ jako potenciál splňuje Laplaceovu rovnici
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER