Leonhard EULER

7
1. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM
k
a k
1 0.1948896727
3 0.0024674322
5 0.0000562308
7 0.0000015255
9 0.0000000451
11 0.0000000014
Součet 0.1974149077
Protože a k mají stejné znaménko, odhadujeme chybu R n
při přerušení součtu za členem a n takto:
+ 2
R
u
n =
n + 4
u n + 2
u n + + … < (1+ u 2 + u 4 + 2
+…) =
u n 1
.
n + 2 n + 4 n + 2
n + 2 2
1 − u
V našem případě R n < 4.7×10 –11 a ln 100 ≈ 5 – 2× 0.1974149077
≈ 4.605170186 (ln 0.673794699 ≈ –0.394829815).
Logaritmus se základem a > 0 se vypočte pomocí přirozeného logaritmu podle
vztahu
ln x
log a x = .
ln a
Např. log 100 3 =
ln3
ln100
≈
1.098612289
4.605170186
≈ 0.2385606273, log π 3 =
ln 3
ln π
≈ 0.959713…
Protože jsme zvyklí pracovat s čísly v desítkové soustavě, tj. reprezentovat čísla
jako součet násobků mocnin 10, je nejpohodlnější pracovat s dekadickými logaritmy.
S tímto účelem se jako technická pomůcka dříve používalo logaritmické pravítko se
stupnicemi dekadických logaritmů. Po nástupu elektronických kalkulaček před 20–30
lety se velmi rychle stala anachronismem. Víc o logaritmech je uvedeno např. v [15].
1.3. Teorie čísel
V teorii čísel se většinou pracuje s přirozenými čísly, tj. prvky množiny N = {1, 2, 3,…}.
Opakovaným sčítáním se tvoří násobky. Např. sudá čísla jsou dvojnásobky přirozených
čísel. Operacemi sčítání a násobení z oboru přirozených čísel nevybočíme. Odčítání
vede k 0 a záporným číslům {–1, –2, –3,…}. Sjednocením těchto množin dostáváme
obor celých čísel Z = {…–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,…}.
Bohatší výsledky přináší operace dělení. Jsou-li m, n ∈ N, n > m a je-li p = n/m
celé, říkáme, že n je násobkem m, n je dělitelné m, m je dělitelem n atd. Libovolná m, n
můžeme dělit, n/m = c + r, kde c je celá část, c ∈ {0, 1, 2, …} a r ∈ {0, 1, …m–1} je
zbytek. Tak se množina celých čísel pro dané m, modul, rozpadá do m zbytkových tříd.
To, že číslo n patří do zbytkové třídy r, tj. n = c m + r se od Gaussových dob zapisuje
n ≡ r mod(m)
a čte: n je kongruentní r modulo m.
Dělitelnost celých čísel tvoří rozsáhlou kapitolu tradiční algebry. Při manipulaci
s čísly se objevují různé zákonitosti a snadno vznikají různé hypotézy.
Zvolme n ∈ N a pišme je v dekadickém tvaru, tj. jako
n = n k n k–1 …n 1 n 0 = n k 10 k + … + n 1 10 1 + n 0 10 0 .
Protože všechny kladné mocniny 10 jsou sudé, rozhoduje o tom, zda n ∈ N je sudé či
liché jen poslední číslice. Zda je n dělitelné 3 se vyšetří také snadno. Každá kladná
mocnina 10 dává po dělení 3 zbytek 1, takže
n = n k (3m k +1) k + … + n 1 (3×3 + 1) = M×3 + (n k +…+ n 0 ) a n je dělitelné 3 právě když
součet jeho cifer n k +…+ n 0 je dělitelný 3, tj. n ≡ (n k +…+ n 0 ) mod(3).
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER