Leonhard EULER

75
4. EULEROVY STOPY VE FYZICE
2
( . ) ϕ =
∂
2
∂x
∂ ϕ
Po dosazení = (ik) 2 f(z) e i(kx–ωt) = –k 2 f(z) e i(kx–ωt) ∂ ϕ
, = f ´´(z) e i(kx–ωt) dostaneme
2
2
∂x
∂z
lineární diferenciální rovnici pro funkci f
f ´´(z) – k 2 f = 0 ,
která má obecné řešení f(z) = Ae kz + Be –kz .
Na dně v hloubce z = –h platí okrajová podmínka
∂ ϕ (x, –h, t) = f ´(–h) e i(kx–ωt) = (Ak e –kh – Bk e kh ) e i(kx–ωt) = 0,
∂z
tj.
ϕ
Ae –kh – Be kh = 0.
Konstanty A, B jsou tedy závislé a můžeme zvolit A = Ce kh , B = Ce –kh . Potenciál
rychlosti je pak
ϕ(x, z, t) = C [e k(h+z) + e –k(h+z) ] e i(kx–ωt) = 2C cosh [k(h+z)] e i(kx–ωt) .
Na hladině, tj. ploše
z = w(x, y, t)
v okamžiku t, platí pro vertikální složku rychlosti
d z ∂w
dx
∂w
dy
∂ w
= + + .
dt
∂x
dt
∂y
dt
∂t
∂ w ∂w
Předpokládáme, že délka vlny je mnohem větší než její amplituda, takže , jsou
∂x
∂y
malé a první dva sčítance na pravé straně jsou zanedbatelné. Pro nevířivý pohyb je
d z ∂ w = .
dt
∂ t
Rychlost změny potenciálu rychlosti je úměrná výchylce hladiny
Takže w = – g
1
dz
dt
∂ϕ
∂t z=
w
z=
w
–
∂w
∂t
a
z=
w
=
∂ϕ
∂z z=
w
∂ϕ
∂t z=
w
+ g
1
∂
∂t
2
+
∂
2
∂z
= –gw.
∂ϕ
ϕ
2
∂t z=
w
=
= 0.
2
∂ϕ 1
[ +
∂z g
2
∂ ϕ
]
2
∂t
z=
w
Výchylky hladiny považujeme za malé, takže pro hladinu máme zjednodušenou
okrajovou podmínku
∂ϕ 1
[ +
∂z g
2
∂ ϕ
]
2
∂t
Po dosazení ϕ(x, z, t) = 2C cosh [k(h+z)] e i(kx–ωt)
z=
0
= 0
dostaneme
= 0.
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER