Leonhard EULER

50
3. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE
X 2 (b) = 3.92540 < χ 0.05 (5) ≈ 11.07050,
kdežto u normálního rozdělení s minimalizujícím vektorem b = (m, σ) = (18.59096, 5.05918) T
X 2 (b) = 29.43573 > χ 0.05 (7) ≈ 14.06714,
takže normalita se musí zamítnout.
je
80
Četnost
70
60
50
Empirické četnosti
B-rozdělení
N-rozdělení
40
30
20
10
0
5 10 15 20 25 30
Spotřeba x , dm 3
Obr. 3.15 – Distribuce denní spotřeby vody za 1 rok podle údajů na jednom vodoměru.
3.3.5. EULEROVA–MACLAURINOVA FORMULE
Vyjdeme z problému numerické integrace dostatečně hladké funkce f na intervalu [a, b].
Tento interval rozdělíme na n stejných intervalů délky h =
b−
n a
. Z numerické
matematiky je dobře známa první aproximace integrálu pomocí spojité po částech
lineární funkce (splajnu) [3], tzv. trapezová (lichoběžníková) formule:
b
∫
a
h
f(x) dx ≈ h [f(a) + 2 ∑ −
2 k=
n
1
1
f(a + kh) + f(b)]
Jedna idea zpřesnění výpočtu integrálu spočívá ve využití vyšších derivací funkce
zapojených prostřednictvím Bernoulliho polynomů [80,81,89,90]. Zde uvedeme jen
výslednou algoritmickou Eulerovu–Maclaurinovu formuli:
b
∫
a
h
f(x) dx = [f(a) + 2 ∑ −
2 k=
n
1
1
m
f(a + kh) + f(b)] – ∑
2
k=
1 (2k)!
h k B 2k [f (2k–1) (b) – f (2k–1) (a)] + R m ,
kde 2m je zvolený maximální stupeň Bernoulliho polynomů a R m je zbytek
R m =
2(
+ 1)
h m B 2m+2 f (2m+2) (a + θ(b-a)), 0 < θ < 1.
(2m
+ 2)!
K aplikaci Eulerovy–Maclaurinovy formule potřebujeme tedy jen Bernoulliho čísla
a funkční hodnoty lichých derivací funkce f. O výpočtu Bernoulliho čísel jsme se
zmínili už v odst. 3.3.2. Pro úplnost: B 2k+1 = 0 pro k > 0. Další jsou v následující tabulce.
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER