Leonhard EULER

46
3. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE
zobecnění faktoriálu, o němž přemítali Christian Goldbach a Daniel Bernoulli. Euler
uvažoval s jako reálné číslo různé od 0 a záporných celých čísel. Ale, jak uvidíme za
chvíli, definiční obor Γ se dá rozšířit na komplexní rovinu C, z níž jsou vyňata záporná
celá čísla a 0, tedy na C – {0, –1, –2, …}.
Z hlediska numerických výpočtů pro reálná s stačí aproximovat funkci Γ kvalitním
polynomem na intervalu [1, 2]. Znalost Γ(s) pro s z intervalu [1, 2] a vlastnost Γ(s) =
(s – 1) Γ(s – 1) umožňuje získat hodnotu Γ pro s vně tohoto intervalu, tedy pro
s ∈ (–∞, + ∞) – {0, -1, -2, …}. V EXCELu získáme hodnotu Γ(s) pro kladné s přímo
jako exp(gammaln(s)). Pro –1 < s < 0 použijeme rovnosti Γ(s) = Γ(s+1)/s, pro
–n < s < –n+1, n = 2, 3,… hodnoty Γ pro argument o jednotku větší. Např.
Γ(– 2.5) = Γ(–1.5)/(– 2.5) = Γ(–0.5)/[(– 2.5) (– 1.5)] = Γ(0.5)/[(– 2.5) (– 1.5) (–0.5)] .
Graf funkce Γ(s) pro reálné s je na obr. 3.13.
6
G(s)
5
4
3
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0
-1
1 2 3 4
-2
-3
-4
-5
-6
Obr. 3.13 – Graf funkce Γ v okolí počátku.
s
Obr. 3.13 ukazuje, že funkce Γ pro větší kladná velmi rychle roste. Velkých
absolutních hodnot nabývá také v okolí 0 a v okolí záporných celých čísel. Převrácená
hodnota, Γ –1 (s), se však chová krotce a pro s = 0, –1, –2, … lze definovat Γ –1 (s) = 0.
Proto se pro komplexní z někdy vychází z definice převrácené hodnoty funkce Γ
pomocí nekonečných součinů [71,72]:
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER