Leonhard EULER

37
3. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE
cos(iz)
4
3
2
1
0
-2 -1 0 1 2
z
Obr. 3.8 – Graf funkce cos(iζ) = cosh(ζ) pro -2 < ζ < 2.
Vraťme se k obecné exponenciále
•
exp (z) = e z = w = ⎪w⎪ (cos ϕ + i sin ϕ) .
Dá se z komplexního čísla w zpětně určit příslušné z? U reálné exponenciály, w=y, z=x,
je to snadné: z relace y = e x (> 0) plyne x = ln y (je totiž y = exp (ln y) = exp (x) a
z jednoznačnosti exponenciály plyne ln y = x).
Rovnost e z = ⎪w⎪ (cos ϕ + i sin ϕ) přepišme do tvaru (Eulerova formule)
e z = e ln ⎪w⎪ e iϕ = e ln ⎪w⎪ + iϕ .
Vzhledem k periodicitě trigonometrických funkcí je exp (iϕ) rovněž 2π–periodická a
exp (ln ⎪w⎪ + iϕ) = exp (ln ⎪w⎪ + iφ + i2kπ),
kde 0 ≤ φ < 2π, tzv. hlavní část argumentu a k je celé, k = …, –1, 0, 1, …
Dělením rovnosti
exp (z) = exp (ln ⎪w⎪ + iφ + 2kiπ)
její pravou stranou (předpokládáme ≠ 0) dostaneme
tj.
exp [z – (ln ⎪w⎪ + iφ + 2k πi)] = 1 = exp (0),
z = ln(w) = ln ⎪w⎪ + iφ + 2kπi .
Tím jsme definovali přirozený logaritmus v komplexní rovině. Je zřejmé, že díky členu
2kπi je logaritmus mnohoznačnou funkcí.
Příklady.
•
5
4 + 3i = [
= 5 5 1
2
2
4 + 3 exp( i arctan
3
4
) × exp(2kπi) ]
5
1
= 5 5 1
exp [ i 5
1 arctan ( 4
3 )]
[ cos ( 5
1 arctan 4
3 ) + i sin ( 5
1 arctan 4
3 ) ] ≈ 1.368318679 + 0.177081711 i .
• i i = [exp(ln i)] i = [exp(ln⎪i⎪ + i π/2 + 2kπi)] i = [exp(0) × exp(i π/2) × exp(2kiπ)] i
= {1× e i π/2 × [cos (2kπ) +i sin(2kπ)]} i = {e i π/2 } i = e –π/2 = 0.20787957635…
• (1 + i 3 ) 3 + 3i = [ 1 + 3 exp (i arctan 3 + 2kπi)] 3(1 + i) = 2 3(1 + i) 3(1 + i)
exp [i π/3×3(1+i)]×1
= 8×8 i × e iπ–1 = 8e –1 ×e i ln 8 × e iπ = 8e –1 [cos (ln 8) + i sin (ln 8)]× [cos π + i sin π]
= –8 e –π [cos (ln8) + i sin (ln8)] ≈ 0.1683595 – 0.301946 i.
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER