Leonhard EULER

52
3. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE
f (k+1) (x) = –(2+k+1) f (k) (x) x –1
a Bernoulliho čísla jsou v předchozí tabulce, takže výpočty
2
h k B 2k f (2k–1) (5) lze
(2k)!
pohodlně udělat v EXCELu. Následuje tabulka výsledků s použitím indexů j a k.
V posledním sloupci jsou odhady ∑ ∞
k=1
k –3 = 1.177662037 + 0.024 – ∑
m
k=
1
j f (j) (5) B 2k /(2k)! a k
Odhad
a 2k .
0 0.008
1 -0.0048
2 0.00384 0.083333333 -0.0004 1.202062037
3 -0.00384
4 0.004608 -0.001388889 5.33333E-06 1.202056704
5 -0.0064512
6 0.01032192 3.30688E-05 -2.13333E-07 1.202056917
7 -0.018579456
8 -8.2672E-07 1.536E-08 1.202056902
Je vidět, že při troše štěstí dostaneme dobré odhady. Není ale jisté, že odhady
konvergují, a je zklamáním, když se po vynaložení úsilí na výpočty zjistí, že sčítanci a k
konvergují k nule pomalu nebo se od ní začínají vzdalovat [90]. Na dnešní vkus nám
takové výpočty připadají poněkud neurčité nebo složité. Nicméně Eulerova-
Maclaurinova metoda stále patří mezi jednu z metod sčítání velkého počtu sčítanců
jednotného typu (např. 100 pátých mocnin po sobě jdoucích členů aritmetické
posloupnosti čísel) nebo nekonečných řad.
3.4. DIFERENCIÁLNÍ GEOMETRIE
Sám název naznačuje, že jde o přechod od konečných objektů běžné geometrie
k manipulaci s nekonečně malými objekty uskutečněný pomocí diferenciálního počtu
[14,16,91]. Je pochopitelné, že o geometrických aplikacích infinitesimálních metod
uvažovali už matematici před Eulerem. Např. 1731 vyšla kniha A. C. Clairauta o
křivkách s dvojí křivostí, tj. prostorových křivkách.
Euler přešel k analýze ploch, tj. spojitého, popř. hladkého, zobrazení rovinné oblasti
(intervalu) do prostoru: (u, v) = u a x = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Křivost plochy se
váže s křivkami na hladké ploše. Křivky vyťaté rovinami procházejícími společnou
normálou v bodě plochy obecně mění křivost κ v tomto bodě. Ta nabývá maxima a
minima ve dvou vzájemně ortogonálních normálových rovinách, které v tečné rovině
k ploše určují tzv. hlavní směry. To bývá u některých ploch, např. rotačních, zřejmé.
Eulerovou větou v diferenciální geometrii se rozumí tvrzení vyjádřené rovností
κ(θ) = κ max cos 2 θ + κ min sin 2 θ ,
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER