Leonhard EULER

13
1. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM
Koule vepsaná do válce s poloměrem podstavy a výškou H = 2a (obr. 1.9) má stejný
poloměr a. Její objem V koule = 3
4 πa 3 , objem válce je V válec = πa 2 ×2a. Pak ovšem podíl
objemů
V πa
koule
2
= =
V
3 .
válec 2πa
3
Tento výsledek uvedl Archimédes ve svém spisu O kouli a válci [25].
------
Snadno lze ukázat, že rovnostranný válec vepsaný do koule o poloměru a má objem
4
3
3
V válec, 1 = 2
2 π a
3
= 1 V válec a střídavé vpisování koule a válce může pokračovat: V válec, n = 2 –n/2 V válec ,
2
V koule, n = 2 –n/2 V koule ., n = 1, 2, …
n
Poznámka. Součty S m (n) = ∑ k m , m = 1, 2, 3, 4.
k=
1
n
• Součet S 1 (n) = ∑ k = 1 + 2 + … + n je známý součet aritmetické posloupnosti, ale můžeme jej určit
k=
1
také pomocí součtu čtverců.
n
∑ (k + 1) 2 n
= ∑ (k 2 n
+ 2k + 1) = ∑ k 2 + 2 n n
∑ k + ∑ 1.
k=
1
k=
1
k=
1 k=
1 k=
1
Protože
n n
2S 1 (n) = 2 ∑ k = ∑ (k + 1) 2 n
– ∑ k 2 n
– ∑ 1 = (n + 1) 2 – 1 – n = n 2 + n = n(n + 1), je
k=
1 k=
1
k=
1 k=
1
S 1 (n) = n(n + 1).
2
• Analogicky S 2 (n) odvodíme pomocí třetích mocnin.
n
n
n n n n
∑ (k + 1) 3 = ∑ (k 3 + 3k 2 + 3k + 1) = ∑ k 3 + 3 ∑ k 2 + 3 ∑ k + ∑ 1; takže
k=
1
k=
1
k=
1 k=
1 k=
1 k=
1
3S 2 (n) = (n + 1) 3 – 1 – 3S 1 (n) – n = n 3 + 3n 2 + 3n + 1 – 1 – 3 n(n + 1)/2 – n .
Po vynásobení poslední rovnice číslem 2:
6S 2 (n) = 2n 3 + 6n 2 + 6n – 3n 2 –3n – 2n = n (2n 2 + 3n + 1) = n[n(2n + 1) + 2n + 1] , tj.
S 2 (n) = 1 n (n + 1) (2n + 1).
6
• Je zřejmé, že takto lze pokračovat. Např.
S 3 (n) =
1 n 2 (n + 1) 2 = S1 2 (n), S 4(n) = n [n 2 (6n 2 + 15n + 10) – 1] atd.
4
30
Výpočet objemů je součástí integrálního počtu, lidově řečeno scelovacího nebo
sumačního počtu. S ním je úzce spojen diferenciální počet, jehož název je odvozen
ze slova diference, rozdíl. A historie nás vede k již zmíněnému charakteristickému
trojúhelníku u funkce jedné reálné proměnné. Příklad je na obr. 1.10.
Obr. 1.10 naznačuje, že tam, kde rozdíly ∆y při rostoucím x mění spojitě znaménko
z kladného do záporného, má funkce maximum. Na tuto vlastnost poukázal již Fermat.
Bylo mu také zřejmé, že přírůstky nezávisle proměnné musí konvergovat k nule, aby se
poloha extrému funkce dala určit přesně. Podobně uvažovali Pascal, Descartes,
Huygens a další.
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER