Leonhard EULER

62
3. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE
y = B u 2 /(1 + u 2 ) = B tan 2 φ /(1 + tan 2 φ) = B sin 2 φ = 2
B [1 – cos (2φ)].
Teď stačí položit p = 2φ a dostaneme parametrické vyjádření hledané extremály
x(p) = a (p – sin p), y(p) = a (1 – cos p) .
Získaná rovinná křivka se nazývá cykloida. Je to trajektorie bodu na kružnici o
poloměru a při odvalování kružnice po horizontální ose 0x.
Největší počáteční zrychlení lze získat při pohybu ve směru vertikály, tj. osy 0y, od
něhož se dráha hmotného bodu musí postupně horizontálně odklánět. Ilustrativní příklad
je na obr. 3.21. V silovém poli se zrychlením g = 9.8ms –2 je čas potřebný k uražení
dráhy po cykloidě t = 1. 5046s, pohyb po přímce 0E by vyžadoval čas t = 2.6198s [14].
0
-1
0 1 2 3 4 5 6
x
E
-y
-2
Obr. 3.21 – Oblouk cykloidy jako brachistochrona mezi počátkem a bodem E = (3π/2+1, 1).
Variační úlohy se dají rozšířit na funkcionály s derivacemi vyšších řádů, s více
proměnnými atd. [14,96]. Další důležitou třídou jsou podmíněné úlohy, které v
diferenciálním počtu i ve variačním počtu rozpracoval J. L. Lagrange. Tyto úlohy se řeší
zavedením Lagrangeova multiplikátoru [14,96].
Např. zmíněná úloha maximální plochy omezené křivkou dané délky L zní
⎛ b b
⎞
⎜
2
d + ′ d − = ⎟
⎜∫ y x ∫ 1 y x L 0
⎟
⎝ a a
⎠
⎯⎯→
max .
2
Vytvoříme pomocnou funkci F s konstantním multiplikátorem λ: F = y + λ 1+ y′ .
Pro ni Eulerova rovnice zní
d
⎛ ⎞
1 –
⎜ y′
⎟ d
⎛ ⎞
λ = 1 – λ ⎜ y′
⎟ = 1 – λκ = 0,
dx ⎜ 2 ⎟
⎝ 1+
y′
dx ⎜ 2 ⎟
⎠
⎝ 1+
y′
⎠
kde κ = 1/λ = const. je křivost. Řešením je tedy křivka s konstantní křivostí, kružnice.
Technicky důležité je řešení objemové izoperimetrické úlohy [102].
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER