Leonhard EULER

3
1. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM
pojmy se úsilím mnoha matematiků postupně do matematiky začlenily a dnes jich
používáme samozřejmě. K důslednému používání komplexních čísel přispěl Raffael
Bombelli knihou Algebra (1572), kterou později studovali G. W. Leibniz i L. Euler.
Uvažujme znovu kubickou rovnici x 3 +12 x – 2 = 0. Lze ji psát ve tvaru
0 = x 3 +12 x – 2 = (x – x 1 )(x 2 + ax + b),
kde x 1 = 0.166283519 je její první kořen určený třeba numericky. Roznásobením
pravé strany a srovnáním koeficientů stejných mocnin x najdeme
a = x 1 , b = 2/x 1 .
Další dva kořeny kubické rovnice x 3 +12x – 2 = 0 jsou tedy kořeny kvadratické rovnice
x 2 + x 1 x + 2/x 1 = 0,
1
x 2,3 = – ⎜
⎛ 2
x x − 8 x ⎟
⎞ = –0.083141759 ± 3.467093544 i.
2
1 ± 1 / 1
⎝
⎠
Krátce po řešení kubické rovnice se podařilo také řešit rovnici 4. stupně převedením
na součin dvou kvadratických trojčlenů. Rovnice vyšších stupňů se algebraicky obecně
řešit nedají. Trvalo víc než 2 století, než nemožnost algebraického řešení rovnice 5.
stupně dokázal N. H. Abel (1802–1829). Úplné řešení problému algebraické řešitelnosti
rovnic stupně ≥ 5 podal E. Galois (1811–1832). Úvahy o řešitelnosti jej vedly k
vytvoření základů teorie grup [5,11].
F
3
2.5
2
1.5
2.5-3
2-2.5
1.5-2
1-1.5
0.5-1
0-0.5
1
0.5
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
y
Obr. 1.2 – Funkce F(x, y) = ⎪(x+iy) 4 + 1⎪ na intervalu [-1, 1]×[-1,0].
Úlohu konstruktivního řešení algebraické rovnice P(z) = 0, kde P je polynom
s komplexními koeficienty, lze převést na problém najít minimum vhodné spojité
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER