Leonhard EULER

28
3. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE
s poloměrem r. Konstrukce tečen je zřejmá (přerušované čáry na obr. 2.3a). Tečny
protnou opsanou kružnici v dalších vrcholech B a C trojúhelníka.
Ověření rovnosti d = R( R − 2r)
se opírá o Euklidovu větu o výšce. Sestrojíme
úsečku o délce 2(R – r), vyznačíme na ní úseky dlouhé R a (R–2r) (bod D), rozpůlíme
ji a ze středu opíšeme oblouk o poloměru R–r. Podle Euklidovy věty o výšce je
v = R( R − 2r)
= d.
Ještě jinak. Podle další Euklidovy věty (o odvěsně) platí, že čtverec delší odvěsny v pravoúhlém
trojúhelníku nad průměrem je l 2 = [2(R–r)]× R = 2R 2 – 2Rr. Použijeme-li Pythagorovy věty, dostaneme
stejný výsledek: l 2 = R 2 + d 2 = 2R 2 – 2Rr.
Bod A lze ovšem umístit na opsané velké kružnici (s poloměrem R) kamkoli a tak se
zachováním dotyku stran s vnitřní kružnicí posunout vrcholy B, C. Pak trojúhelník při
stejných veličinách d, R, r sice přestane být rovnoramenný, ale ztráta symetrie se netýká
ani konstrukce na obr. 3.3b ani s ní spojených úvah.
(a)
(b)
Obr. 3.3 – Konstrukce rovnoramenného trojúhelníka z prvků R, r, d.
Aby d bylo reálné číslo, d ≥ 0, musí být
R ≥ 2r .
Této nerovnosti se někdy říká Eulerova nerovnost.
Slovy: průměr vepsané kružnice je menší nebo nejvýš roven poloměru opsané kružnice. V mezním
případě rovnostranného trojúhelníka je střed kružnice vepsané také středem kružnice opsané, d = 0,
těžiště ve 2/3 spojnice od vrcholu a tato vzdálenost je rovna poloměru R kružnice opsané. Vzdálenost
těžiště ke straně, tedy poloměr r kružnice vepsané, je zbývající 1/3 této spojnice. Je tedy R = 2r a d = 0.
Z elementární geometrie uvedeme ještě další
Eulerovu větu. U každého trojúhelníka leží střed O kružnice opsané, průsečík K všech
kolmic spuštěných z vrcholů na protilehlé strany a střed V kružnice vepsané na jedné
přímce, Eulerově přímce (obr. 3.4). U rovnostranného trojúhelníka přímka degeneruje
do jednoho bodu. Víc je uvedeno např. v [56,57].
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER